logo
Численные методы

Типы дифференциальных уравнений в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных классифицируют либо в зависимости от математической природы - эллиптические, параболические и т.п., - либо в зависимости от физического смысла решаемых с их помощью задач - уравнение диффузии, волновое и т.п.

Чтобы    пользоваться    математической   литературой    и    литературой    по    прикладным дисциплинам, инженер должен быть знаком с обеими этими классификациями.

Мы будем рассматривать лишь достаточно узкий класс задач для уравнений первого и второго   порядков,   линейных   относительно   производных.    Напомним,   что   порядок дифференцирования уравнения определяется порядком старшей производной.

В случае 2-х независимых переменных X и Y эти уравнения можно записать в виде:

                                                 (13.1)

 здесь u=u(x,y) искомая функция. Коэффициенты a, b, c, d, e, f и правая часть g, вообще говоря, могут зависеть от переменных x, y и искомой функции u. В связи с этим уравнение (13.1) может быть:

1. с постоянными коэффициентами;

2. линейным, если g линейно зависит от u, а коэффициенты зависят только от x, y;

3. квазилинейным, если коэффициенты зависят от u, это самый общий вид (13.1).

Существуют   различные    виды   уравнений    в    зависимости    от   соотношения между коэффициентами. Рассмотрим некоторые из них. При a=b=c=f=0,  получается уравнение первого порядка вида:

                                                                                                     (13.2)

называемое уравнение переноса. На практике в этом уравнении одной из переменных может быть время t. Тогда его называют также эволюционным уравнением.

Если хотя бы один из коэффициентов a, b, c отличен от нуля, то (13.1) является уравнением второго порядка. В зависимости от знака дискриминанта  оно может принадлежать к одному из трёх типов:

1.    гиперболическому (D>0);

2.    параболическому (D=0);

3.    эллиптическому (D<0).

 Приведём примеры уравнений с частными производными, которые будем рассматривать:

1.    Волновое уравнение (гиперболическое)

                                                                                                     (13.3)

 К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, спектр колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.

2. Уравнение теплопроводимости, или уравнение Фурье (параболическое)

                                                                     (13.4)

 Процессы распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (направление фильтрации нефти и газа в подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей.

 3. Уравнение Лапласа (эллиптическое)

                                                                                                    (13.5)

 

 

Метод конечных разностей

В основе решения уравнений в частных производных методом конечных разностей лежит конечноразностная аппроксимация производных. Аппроксимация осуществляется в 3 этапа:

1. Построение в области решения равномерной сетки, содержащей n узловых точек. Конфигурация сетки должна соответствовать характеру задачи и граничным условиям.

2. Использование    дифференциальных    уравнений    в частных  производных  для  получения разностного выражения, описывающего функциональные связи между соседними узлами  сетки. Разностное уравнение   записывают   для   всех   узлов   сетки   и получают в результате систему n уравнении с n неизвестными.

3. Решение полученной системы n  уравнений с n неизвестными с целью получения приближённого решения в узлах сетки.

Рис. 13.1. Двумерная сетка

На первый взгляд, эта процедура, состоящая из 3-х этапов, может показаться простой и прямо ведущей к решению, однако на самом деле это не так. Широкое разнообразие типов и размеров сеток, видов уравнений в частных производных, возможных конечно разностных аппроксимаций этих уравнений и методов решения получаемых систем уравнений делают задачу численного решения уравнения в частных производных исключительно многогранным и интересным исследованием. Рассмотрим теперь все 3 этапа решения.

 

Сетки, применяемые при представлении дифференциальных уравнений частных производных в конечно разностной форме

 

Как уже отмечалось, построение разностных схем решения уравнения с частными производными основано на введении сетки в рассматриваемом пространстве. Узлы сетки являются расчётными точками.

Все ранее приведённые уравнения в частных производных были записаны в декартовой системе координат, однако иногда бывает удобнее пользоваться другими системами координат, обладающими специальными геометрическими свойствами и учитывающими физические особенности рассматриваемой задачи. Чаще всего применяется декартова, цилиндрическая и сферическая системы координат.

 

Прямоугольная сетка

В прямоугольной области G(x,y) с границей Г стороны прямоугольника  и  делятся на элементарные отрезки точками  (i=0, 1, …, I) и  (j=0, 1, …, J). Через эти точки проводятся два семейства координатных прямых x=const и y=const , образующих сетку с прямоугольной ячейкой. Любой узел этой сетки, номер которого (j, i), определяется координатами (xi, yi).

Узлы сетки, лежащие на границе Г области G называются граничными узлами. Все остальные узлы внутренние. Поскольку начальные и граничные условия при постановке задач формулируются на границе расчётной области, то их можно считать заданными в граничных узлах сетки.

Прямоугольные сетки наиболее удобны при организации вычислительного алгоритма. Слоем называется множество точек, имеющих одну временную координату. Приходится решать задачи в различных системах координат.

Если расчётную область удобно задать в полярных координатах , то в ней сетка вводится с шагом  и  соответственно по радиус-вектору и полярному углу.

 

Также используется прямоугольная скошенная сетка.

Иногда и в простой расчётной области вводят не равномерную сетку. В частности, в ряде случаев необходимо проводить сгущение узлов для более точного расчёта в некоторых частях рассматриваемой области. При этом области сгущения известны заранее, или определяются в процессе решения задачи.

 

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4