Типы дифференциальных уравнений в частных производных
Дифференциальные уравнения в частных производных классифицируют либо в зависимости от математической природы - эллиптические, параболические и т.п., - либо в зависимости от физического смысла решаемых с их помощью задач - уравнение диффузии, волновое и т.п.
Чтобы пользоваться математической литературой и литературой по прикладным дисциплинам, инженер должен быть знаком с обеими этими классификациями.
Мы будем рассматривать лишь достаточно узкий класс задач для уравнений первого и второго порядков, линейных относительно производных. Напомним, что порядок дифференцирования уравнения определяется порядком старшей производной.
В случае 2-х независимых переменных X и Y эти уравнения можно записать в виде:
(13.1)
здесь u=u(x,y) искомая функция. Коэффициенты a, b, c, d, e, f и правая часть g, вообще говоря, могут зависеть от переменных x, y и искомой функции u. В связи с этим уравнение (13.1) может быть:
1. с постоянными коэффициентами;
2. линейным, если g линейно зависит от u, а коэффициенты зависят только от x, y;
3. квазилинейным, если коэффициенты зависят от u, это самый общий вид (13.1).
Существуют различные виды уравнений в зависимости от соотношения между коэффициентами. Рассмотрим некоторые из них. При a=b=c=f=0, получается уравнение первого порядка вида:
(13.2)
называемое уравнение переноса. На практике в этом уравнении одной из переменных может быть время t. Тогда его называют также эволюционным уравнением.
Если хотя бы один из коэффициентов a, b, c отличен от нуля, то (13.1) является уравнением второго порядка. В зависимости от знака дискриминанта оно может принадлежать к одному из трёх типов:
1. гиперболическому (D>0);
2. параболическому (D=0);
3. эллиптическому (D<0).
Приведём примеры уравнений с частными производными, которые будем рассматривать:
1. Волновое уравнение (гиперболическое)
(13.3)
К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, спектр колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.
2. Уравнение теплопроводимости, или уравнение Фурье (параболическое)
(13.4)
Процессы распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (направление фильтрации нефти и газа в подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей.
3. Уравнение Лапласа (эллиптическое)
(13.5)
Метод конечных разностей
В основе решения уравнений в частных производных методом конечных разностей лежит конечноразностная аппроксимация производных. Аппроксимация осуществляется в 3 этапа:
1. Построение в области решения равномерной сетки, содержащей n узловых точек. Конфигурация сетки должна соответствовать характеру задачи и граничным условиям.
2. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для получения разностного выражения, описывающего функциональные связи между соседними узлами сетки. Разностное уравнение записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему n уравнении с n неизвестными.
3. Решение полученной системы n уравнений с n неизвестными с целью получения приближённого решения в узлах сетки.
Рис. 13.1. Двумерная сетка
На первый взгляд, эта процедура, состоящая из 3-х этапов, может показаться простой и прямо ведущей к решению, однако на самом деле это не так. Широкое разнообразие типов и размеров сеток, видов уравнений в частных производных, возможных конечно разностных аппроксимаций этих уравнений и методов решения получаемых систем уравнений делают задачу численного решения уравнения в частных производных исключительно многогранным и интересным исследованием. Рассмотрим теперь все 3 этапа решения.
Сетки, применяемые при представлении дифференциальных уравнений частных производных в конечно разностной форме
Как уже отмечалось, построение разностных схем решения уравнения с частными производными основано на введении сетки в рассматриваемом пространстве. Узлы сетки являются расчётными точками.
Все ранее приведённые уравнения в частных производных были записаны в декартовой системе координат, однако иногда бывает удобнее пользоваться другими системами координат, обладающими специальными геометрическими свойствами и учитывающими физические особенности рассматриваемой задачи. Чаще всего применяется декартова, цилиндрическая и сферическая системы координат.
Прямоугольная сетка
В прямоугольной области G(x,y) с границей Г стороны прямоугольника и делятся на элементарные отрезки точками (i=0, 1, …, I) и (j=0, 1, …, J). Через эти точки проводятся два семейства координатных прямых x=const и y=const , образующих сетку с прямоугольной ячейкой. Любой узел этой сетки, номер которого (j, i), определяется координатами (xi, yi).
Узлы сетки, лежащие на границе Г области G называются граничными узлами. Все остальные узлы внутренние. Поскольку начальные и граничные условия при постановке задач формулируются на границе расчётной области, то их можно считать заданными в граничных узлах сетки.
Прямоугольные сетки наиболее удобны при организации вычислительного алгоритма. Слоем называется множество точек, имеющих одну временную координату. Приходится решать задачи в различных системах координат.
Если расчётную область удобно задать в полярных координатах , то в ней сетка вводится с шагом и соответственно по радиус-вектору и полярному углу.
Также используется прямоугольная скошенная сетка.
Иногда и в простой расчётной области вводят не равномерную сетку. В частности, в ряде случаев необходимо проводить сгущение узлов для более точного расчёта в некоторых частях рассматриваемой области. При этом области сгущения известны заранее, или определяются в процессе решения задачи.
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Введение
- Основы работы с MathCad
- 1. Введение в численные методы. Теория погрешностей и машинная арифметика Понятие о вычислительном эксперименте
- Классификация погрешностей
- Элементы теории погрешностей
- 2. Теория погрешностей и машинная арифметика Погрешности арифметических действий Погрешность функции
- Погрешности арифметических действий
- 3. Численное решение нелинейных уравнений
- Решение нелинейных уравнений
- 4. Численное решение систем уравнений Решение систем линейных уравнений
- Решение матричных уравнений
- Решение систем нелинейных уравнений
- 5. Решение систем уравнений и систем уравнений MathCad Решение одного уравнения
- Нахождение корней полинома
- Решение систем уравнений
- Приближенные решения
- Символьное решение уравнений
- 6. Интерполяция функций
- Глобальная интерполяция
- 7. Интерполяция функций Интерполяционные формулы Ньютона
- Локальная интерполяция
- 8. Интерполяция функций Кубическая сплайн-интерполяция
- Интерполяция средствами MathCad
- 9. Математическая обработка экспериментальных данных Элементы теории ошибок
- Элементы теории ошибок Случайные ошибки
- Аппроксимация в виде линейной комбинации функций
- Полиномиальная аппроксимация в Mathcad
- С помощью функции regress
- 11. Численное интегрирование и дифференцирование Численное интегрирование
- Методы прямоугольников
- Метод трапеций
- Метод Симпсона
- Метод Монте - Карло
- Численное дифференцирование
- 12. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- Одношаговые методы решения задачи Коши
- Общая характеристика одношаговых методов
- 13. Решение дифференциальных уравнений в частных производных Уравнения первого порядка
- Типы дифференциальных уравнений в частных производных
- Уравнения первого порядка
- Лабораторная работа
- Варианты задания 1
- Варианты задания 2
- Варианты задания 3
- Локальная интерполяция
- Предсказание
- Варианты заданий 4
- Полиномиальная регрессия
- Обобщенная регрессия
- Варианты задания 5
- Численное интегрирование и дифференцирование
- Варианты задания 6