2.1 Лемма о целых решениях системы однородных линейных уравнений с рациональными коэффициентами

Пусть имеется ряд линейных однородных уравнений, связывающих n неизвестных :

(1)

…………………………….

Если такая система имеет решения, отличные от нуля, точнее, если этим уравнениям удовлетворяют значения, которые не все равны нулю, то число независимых уравнений в этой системе меньше числа неизвестных (n); остальные же, если такие существуют, представляют собой следствия предыдущих. Если же допустить, что среди уравнений (1) имеется n независимых, то они имели бы только одну систему решений: . Если помимо нулевых решений имеются другие, которые не сводятся к нулю, то число независимых уравнений в системе (1) меньше n. Отсюда следует, что такая система уравнений имеет также бесчисленное множество систем целых решений, если только коэффициенты этих уравнений рациональны.

Если среди уравнений (1) имеется h независимых уравнений, а остальные представляют собой следствия, то из независимых уравнений можно определить h неизвестных в зависимости от остальных:

(2)

……………………………………

где коэффициенты A,B,C,…,G есть рациональные числа. Теперь мы можем дать неизвестным произвольные значения, и тогда система уравнений (2) определяет значение остальных неизвестных . Если мы дадим неизвестным рациональные значения, то при рациональных коэффициентах и остальные неизвестные получат рациональные значения. Значение всех неизвестных мы можем привести к одному знаменателю, так что получим:

…, …, (3)

Но если однородным уравнениям удовлетворяют некоторые значения неизвестных, то мы получим другие значения, удовлетворяющие тем же уравнениям, если умножим их на одно и то же число. Если умножить значения (3) на М, то получим целые числа

…,

удовлетворяющие тем же уравнениям (2).

Решениями уравнений (1) может являться иррациональные, рациональные и целые значения неизвестных. Но если можно подобрать какую либо систему решений, хотя бы иррациональных, но составленную исключительно из положительных чисел (не равных нулю), то уравнения имеют так же систему целых решений, составленную из положительных чисел. Если уравнения имеют систему рациональных положительных решений, то, умножив их на общий знаменатель, получим систему целых положительных решений. Положим, что уравнениям (1) удовлетворяют положительные значения

(4)

среди которых имеются и иррациональные. Это значит, что если известным дадим значение

,(5)

то неизвестные из уравнения (2) получат значения

(6)

В первой группе обязательно есть иррациональные значения, так как иначе все неизвестные получили бы рациональные значения. По формуле (2) видно, что значения неизвестных изменяются непрерывно, когда мы непрерывно изменяем значения известных . Если при положительных значениях (5) неизвестных первые неизвестные () получают положительные значения, то мы получим другие положительные значения для неизвестных , если возьмем для другие значения, достаточно близкие к (5). Но сколько угодно близко к иррациональному числу являются рациональные числа: мы можем второй группе неизвестных дать рациональные положительные значения, настолько мало отличающиеся от чисел (5), что остальные неизвестные сохраняют положительные значения, хотя и станут рациональными. Получив систему положительных рациональных решений, мы можем от них перейти к системе целых положительных решений.

Итак, если система однородных линейных уравнений имеет решения отличные от нуля, то она допускает так же систему целых решений. Если же она имеет хоть одну систему решений, составленную исключительно из положительных чисел, то она допускает систему целых решений, также составленную из положительных чисел.