2.2 Вспомогательные понятия для доказательства теоремы Дена-Кагана

Положим, что некоторый многогранник, каким - либо образом разбит на составляющие многогранники; ребра этих многогранников располагаются в исходном многограннике по отрезкам, совокупность которых мы будем называть скелетом разложения. Мы представляем себе этот скелет, как совокупность вытянутых и скрепленных между собой проволок, которые мы можем при желании отделить как от исходного многогранника, так и от составляющих многогранников. Рассмотрим это на примерах.

На рис. 10 изображена четырехгранная пирамида, разложенная на четыре трехгранные пирамиды (OABC, OACD, OADE, OAEB) и одну четырехгранную пирамиду (OBCCDE), которые имеют общую вершину в точке O. Ребра составляющих пирамид располагаются по 13 отрезкам, из которых 8 совпадают с ребрами исходной пирамиды, а остальные 5 сходятся в точке O и расположены внутри исходной пирамиды. Эти 13 отрезков изображены на рисунке; если представить, что нанесенные на рисунке линии реализованы в виде бесконечно тонких, скрепленных проволок, то скелет будет реализован: его можно будет отделить от многогранников, в него можно вложить составляющие многогранники, которые в совокупности составят исходный многогранник.

На рис. 11 изображена четырехгранная пирамида ABCDE. Она разложена на четыре трехгранные пирамиды: ABCF, ACDF, ADEF, AEBF; из них ABCF в свою очередь, разложена на две трехгранные пирамиды (BACH и BCHF), а ADEF на три пирамиды сходящиеся в вершине G (GFED, GEKLD, GAKL). Таким образом, всего получается 7 пирамид, на которые разбивается наша исходная пирамида. Глядя на этот рисунке, мы представляем себе исходную и составляющие пирамиды. Но если мы представим себе просто проволоки, натянутые по всем линиям рисунка, то они составят скелет разложения.

Рассматривая эти скелеты, мы видим, что на ребре составляющего многогранника могут находиться вершины и другие составляющие многогранников. Все точки, в которых находятся вершины составляющих многогранников, мы будем называть сочленениями скелета: в этих точках должны быть скреплены наши воображаемые проволоки, чтобы скелет представлял собой единое целое. На наших рисунках сочленения отмечены буквами, в разложении на рис. 10, их 6 (A, B, C, D, E, O), а в разложении на рис. 11, их 10 (A, B, C, D, E, F, G, H, K, L).

Сочленения разбивают каждый отрезок скелета на части, которые мы будем называть звеньями скелета. В разложении на рис. 10 каждый отрезок образует одно звено, в разложении на рис. 11 отрезок AF распадается на 3 звена (AH, HG, GF), отрезок AE распадается на два звена (AK и KE), отрезок AD - также на два звена (AL и LD). Весь скелет всегда состоит из звеньев, скрепленных в сочленениях.

К каждому звену скелета прилегают ребра или части ребер составляющих многогранников. В разложении, изображенном на рис. 10, к звену ОА, прилегают 4 составляющих многогранника, к каждому из звеньев BC, CD, DE, EB и боковых звеньев AB, AC, AD, AE прилегают по 2 многогранника. В разложении, изображенном на рис.11 звено GH окружено четырьмя многогранниками, к звену CH прилегают ребра двух многогранников, и в то же время оно само лежит на грани (ACF) одного из составляющих многогранников.

Мы будем относить звено к первому типу, если многогранники, ребра которого к нему прилегают, окружают это звено со всех сторон, так что прилегающие к нему двугранные углы составляют в сумме 4d. Таковы внутренние звенья (OA, OB, OC, OD, OE) на рис. 10, таковы звенья AH, HG, GF на рис. 11.

Рис. 12 и рис. 13 предназначены для лучшего выяснения условий, при которых мы относим звено к первому типу. Рис. 12 изображает часть разложения некоторого многогранника на составляющие многогранники, именно ту часть, которая прилегает к звену АВ. К этому звену прилегают своими ребрами 4 составляющих многогранника: передняя трехгранная призма ADFCKG, задняя трехгранная призма AEBMPN, с правой стороны - трехгранная пирамида BADE, с левой стороны - трехгранная пирамида ACGL. Чтобы это можно было отчетливее различить, на рис. 13 изображено то же разложение, причем составляющие многогранника раздвинуты. Внутри жирным штрихом отмечена часть скелета и на не звено АВ. Здесь отчетливо видны двугранные углы, прилегающие к этому звену и образующие в совокупности 4d, как это и отмечено кружком на рис. 12.

Относительно каждого ребра первого типа мы будем говорить, что оно имеет аргумент 4d, это есть лишь иное выражение того факта, что облегающее звено двугранные углы составляющих многогранников образуют в сумме 4d.

Но иногда двугранные углы составляющих многогранников, прилегая к звену, образуют в совокупности не 4d, а только 2d. Это имеет место в том случае, когда звено лежит на грани составляющего или исходного многогранника. Таковы на рис. 11 звенья FB, FC, FD, FE, GE, GD и др. Такого рода звено АВ изображенное на рис. 14, к нему прилегает трехгранная пирамида ABCD и две трехгранные призмы AHKBCL и AGFBDE. Их двугранные углы, прилегающие к звену АВ, составляют в сумме 2d.

В этом случае мы будем говорить, что звено принадлежит ко второму типу и имеет аргумент 2d.

Еще ребро может лежать на ребре разлагаемого многогранника. Если двугранный угол исходного многогранника при этом ребре равен а, то сумма двугранных углов составляющих многогранников, прилегающих к этому звену, также равна а. такого рода звено BF изображено на рис. 13, к нему прилегают ребра двух составляющих призм, так что сумма двугранных углов при этих ребрах равна двугранному углу а, образуемому заштрихованными гранями исходного многогранника.

Такого рода звенья мы будем относить к третьему типу, и каждому такому звену мы отнесем аргумент, равный двугранному углу а исходного многогранника, на ребре которого оно лежит.

Итак, звенья скелета разлагаются на три типа. Звенья первого типа имеют аргумент 4d, звенья второго типа имеют аргумент 2d, звенья третьего типа имеют аргументы, равные двугранным углам исходного многогранника.

Ребра составляющих многогранников прилегают к звеньям скелета. Иногда ребро целиком прилегает к одному звену, иногда же ребро разбивается сочленениями на несколько частей. Эти части мы будем называть отрезками разложения. Если мы раздвинем составляющие многогранника, то звенья останутся на скелете, а отрезки разложения отойдут вместе с ребрами. Это хорошо видно на рис. 13. На скелет АВС, отмеченном жирным штрихом, мы видим звенья АВ и ВС. Ребро АВ правой пирамиды целиком примыкает к звену АВ, это ребро содержит поэтому только один отрезок разложения. Ребро АС левой пирамиды разлагается звеньями на 2 отрезка разложения АВ и ВС. Точно также ребро АС передней призмы состоит из двух отрезков разложения, а ребро АВ задней призмы имеет только один отрезок разложения. Если мы сдвинем снова составляющие многогранника, то к звену АВ на скелет примкнет 4 равных ему отрезка разложения на четырех прилегающих к этому звену многогранниках.

Положим теперь, что мы имеем два многогранника, которые составлены из соответственно конгруэнтных многогранников. Можно сказать, что второй многогранник составлен из тех же составляющих многогранников, что и первый, но только иначе расположенных. Два исходных многогранника будем называть большими многогранниками, а те многогранники, из которых они составлены, малыми многогранниками.

Каждому разложению соответствует свой скелет, звенья каждого из скелетов разделяют ребра малых многогранников на отрезки разложения. Возьмем какое - либо ребро АВ одного из малых многогранников, оно фигурирует в одном и в другом разложении. В первом разложении это ребро разделяется звеньями, скажем, на два отрезка АС и СВ (рис. 16), в другом разложении то же самое ребро разделяется на другое число частей, - на три (AK, KL и LB на рис. 16). Нанесем теперь на ребра точки деления, соответствующие одному и другому разложению, как это показано на третьем отрезке АВ на рис. 16. Тогда отрезки разобьются на более мелкие отрезки, которые мы будем называть элементарными отрезками. Эти элементарные отрезки определяются уже не одним, а обоими разложениями.

Представим теперь, что на каждом ребре каждого из малых многогранников нанесены элементарные отрезки, определяемые на этом ребре обоими разложениями. Эти элементарные отрезки располагаются на ребрах малых многогранников в одном и другом разложении, причем в обоих разложениях мы имеем те же элементарные отрезки.

Рис. 17 воспроизводит рис. 13 с тем различием, что на отрезке разложения АВ каждого из малых многогранников нанесены элементарные отрезки. На ребре АВ правой пирамиды мы видим четыре элементарных отрезка. На передней призме отрезок АВ имеет два элементарных отрезка, а на каждом из остальных многогранников отрезок АВ разбит на три элементарных отрезка.

Каждому элементарному отрезку мы вновь припишем аргумент. Все элементарные отрезки, лежащие на одном и том же ребре, имеют один и тот же аргумент, двугранный угол при этом ребре.

Каждому элементарному отрезку отнесем некоторое положительное число, которое мы будем называть массой этого элементарного отрезка. Эти положительные числа мы выберем совершенно произвольно с одним только условием: если к одному и тому же звену, в том или другом разложении, прилегает на одном отрезке разложения элементарные отрезки с массами на другом отрезке разложении - элементарные отрезки с массами на третьем отрезке разложения - элементарные отрезки с массами и т.д., то наше требование будет заключаться в том, чтобы были равны их суммы:

. (7)

Это группе уравнений должны удовлетворять массы элементарных отрезков, прилегающих к одному звену, общее значение М этих сумм мы примем за массу самого звена. Звено АВ на рис. 17 потребует следующих уравнений:

; (8)

общее же значение каждой из этих сумм представит массу звена АВ.

Каждому звену соответствует, таким образом, группа уравнений вида (7). Таких групп получится столько, сколько есть звеньев в обоих разложениях вместе.

Чтобы удовлетворить всем уравнениям надо принять за массу каждого элементарного отрезка его длину. Но возможен и другой выбор. Согласно нашему требованию, массы должны удовлетворять только системам уравнений вида (7). Но это есть однородные линейные уравнения с целыми коэффициентами, и раз они удовлетворяются одной системой положительных значений, то им можно удовлетворить также целыми положительными значениями для неизвестных. Вот такую систему целых положительных значений мы примем за массы элементарных отрезков. Вместе с тем массы звеньев также выразятся целыми числами.