3. Решение задач

Задача№1. Доказать, что медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Доказательство: Пусть точка М пересечение медиан треугольника АВС (рис.18). Прямая ВМ разрезает треугольники АВС и АМС на два равновеликих треугольника (по свойству медианы), поэтому

и . Прямая

АМ-разрезает треугольники АВС и СМВ на два равновеликих треугольника, поэтому и . Прямая СМ -разрезает треугольники АВС и АМВ на два равновеликих треугольника, поэтому и .

, =>

, => .

.

Задача№2. Дан треугольник АВС. Найдите все такие точки Р, что площади треугольников АВР, ВСР и АСР равны.

Решение: Из равенства площадей треугольников ABP и BCP следует, что расстояния от точек A и C до прямой BP равны. Поэтому прямая BP либо проходит через середину отрезка AC, либо параллельна ему. Искомые точки изображены на рис. 19.

Задача№3. Внутри данного треугольника ABC найдите такую точку O, что площади треугольников BOL, COM и AON равны (точки L, M и N лежат на сторонах AB, BC и CA, причём OL||BC, OM||AC и ON||AB; рис. 20).

Решение: Обозначим точку пересечения прямой LO со стороной AC через . Так как и , то . Высоты треугольников LOB и равны, поэтому LO=, т.е. точка O лежит на медиане, проведённой из вершины A. Обозначим точку пересечения прямой MO со стороной AD через . Так как и , то . Высоты треугольников MOC и равны, поэтому MO=, т.е. точка O лежит на медиане, проведённой из вершины B. Обозначим точку пересечения прямой NO со стороной BC через . Так как и , то . Высоты треугольников NOA и равны, поэтому NO=, т.е. точка O лежит на медиане, проведённой из вершины C. O - точка пересечения медиан треугольника. Эти рассуждения показывают также, что точка пересечения медиан треугольника обладает требуемым свойством.

Задача№4. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD (рис. 21) существует такая точка O, что площади треугольников OAB, OBC, OCD и ODA равны. Докажите, что одна из диагоналей четырёхугольника делит другую пополам.

Доказательство: Пусть E и F - середины диагоналей AC и BD. Так как , точка O лежит на прямой AF. Аналогично точка O лежит на прямой ВF. Предположим, что точка пересечения диагоналей не является серединой ни одной из них. Тогда прямые AF и ВF имеют единственную общую точку F, поэтому O=F. Прямые DE и CE имеют единственную точку Е, поэтому O=E. Cледовательно E=F. Получено противоречие, следовательно одна из диагоналей четырёхугольника делит другую пополам в точке О.

Рис. 21

теорема многоугольник квадрат каган

Задача№5. Разрежьте квадрат на 8 остроугольных треугольников.

Решение: Требуемые разрезы изображены на рис. 22; пунктирные полуокружности показывают, что все полученные треугольники остроугольные.

Рис. 22

Задаче№6. Можно ли какой-нибудь невыпуклый 5-угольник разрезать на два равных 5-угольника?

Решение: Да можно. См. рис. 23 а или рис. 23 б.

Задача№7. Разрежьте произвольный тупоугольный треугольник на 7 остроугольных.

Решение: Пусть и O - центр вписанной окружности S треугольника ABC. Проведём к S касательные через точки пересечения S с отрезками OA и OB и обозначим получившиеся углы, как показано на рис.26. Последовательно вычисляя углы, получаем, что , (аналогично ),

, и . Аналогично доказывается, что и все остальные углы семи треугольников, изображенных на рис. 24, меньше .

Задача№8. Разбейте равносторонний треугольник на 7 равнобедренных, три из которых равны.

Решение: Пусть AB - наибольшая сторона треугольника ABC и . Возьмём сначала на стороне AB точку D так, что AD=AC, затем на BC - точку E так, что BE=BD, затем на AC - точку

F так, что CF=CE, затем на AB - точку G так, что AG =AF (рис. 25). Тогда GD=FC=CE. Пусть O - центр вписанной окружности треугольника ABC. Так как и CA=DA, то , поэтому OC=OD. Аналогично OF=OG, OC=OG и OD=OE. Поэтому OE=OD=OC=OG=OF, т.е. на рис. 25 изображено требуемое разбиение.

Задача№9. Квадрат разделён на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трёх из этих частей равны, то равны и площади всех четырёх частей.

Доказательство: Пусть данные прямые и делят квадрат на четыре части, площади которых равны , , и , причём для первой прямой площади частей, на которые она делит квадрат, равны и а для второй они равны и . Так как по условию , то . Это означает, что образ прямой при повороте относительно центра квадрата на или не просто параллелен прямой , а совпадает с ней. Остаётся доказать, что прямая (а значит, и прямая ) проходит через центр квадрата. Предположим, что это не верно. Рассмотрим образы прямых и при поворотах на и обозначим площади частей, на которые они делят квадрат, так, как показано на рис. 26 (на этом рисунке изображены оба различных варианта расположения прямых). Прямые и делят квадрат на четыре части, площади которых равны a, a+b, a+2b+c и a+b, причём числа a, b и c ненулевые. Ясно, что три из указанных четырёх чисел не могут быть равны. Получено противоречие.

Рис. 26

Задача№10. Докажите, что любой многогранник можно разрезать на выпуклые многогранники.

Доказательство: Проведем все плоскости, содержащие грани данного многогранника. Все части, на которые они разбивают пространство, выпуклые. Поэтому они задают требуемое разбиение.

Задача№11. Докажите, что любой выпуклый многогранник можно разрезать на тетраэдры.

Доказательство: Возьмем внутри многогранника произвольную точку Р и разрежем его грани на треугольники. Треугольные пирамиды с вершиной Р, основаниями которых являются эти треугольники, дает искомое разбиение (рис. 27).

Рис. 27

Задача№12. Докажите, что любой выпуклый многогранник можно разрезать на тетраэдры, вершины которых расположены в вершинах многогранника.

Доказательство: Докажем утверждение индукцией по числу вершин n. Для n=4 оно верно. Предположим. Что оно верно для любого выпуклого многогранника с n вершинами, и докажем, что тогда оно верно и для многогранника с n+1 вершинами. Выделим одну из вершин этого многогранника и отрежем от него выпуклую оболочку остальных n вершин, т.е. наименьший выпуклый многогранник, содержащий их. По предположению индукции эту выпуклую оболочку - выпуклый многогранник с n вершинами - можно разрезать требуемым образом. Оставшаяся часть является многогранником (возможно, невыпуклым) с одной выделенной вершиной А, а все остальные вершины соединены с ней ребрами. Разрежем на треугольники его грани, не содержащие вершину А. треугольные пирамиды с вершиной А, основаниями которых являются эти треугольники, дают искомое разбиение.

Рис .28

Задача№13. Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребер тетраэдра, делит его на две части равного объема.

Доказательство: Пусть М и К - середины ребер АВ и CD тетраэдра ABCD. Пусть для определенности плоскость, проходящая через М и К, пересекает ребра в точках L и N (рис 28). Плоскость DMC делит тетраэдр на две части равного объема, т. к. , -угол между DC и AB, а , -угол между DC и МB, AB=2MB, тогда . Поэтому достаточно проверить, что DKLM и CKNM равносоставленны, а значит и их объемы будут равны. Объем тетраэдра CKBM равен ? объема тетраэдра ABCD (т. к. ), а отношение объемов тетраэдров CKBM и CKNM равно BC:CN (). Аналогично отношение ? объема тетраэдра ABCD к объему тетраэдра DKLM равно AD:DL. Остается заметить, что BC:CN=AD:DL, тогда .

Задача№14. На какое наименьшее число тетраэдров можно разрезать куб?

Решение: Если из куба вырезать тетраэдр , то останется часть куба распадающаяся на 5 тетраэдров (рис. 29).

Докажем, что на меньшее число тетраэдров куб разрезать нельзя. Грань АВСD не может быть гранью тетраэдра, на которые разбит куб, поэтому к ней прилегает по крайней мере два тетраэдра. Рассмотрим все тетраэдры, прилегающие к грани ABCD. Их высоты, опущенные на эту грань, не превосходят а, где а - ребро куба, а сумма площадей их граней, лежащих на ABCD, равна .

Поэтому сумма их объемов не превосходит . Так как грани одного тетраэдра не могут располагаться на противоположных гранях, к граням ABCD и прилегает по крайней мере 4 тетраэдра, причем сумма их объемов не превосходит . Следовательно есть еще один тетраэдр.

Задача№15. Докажите, что любой тетраэдр можно так разрезать плоскостью на две части, что из них можно вновь сложить такой же тетраэдр, приложив их друг к другу иным способом.

Рис. 29 а

Рис. 29 б

Доказательство: Сумма углов каждой из четырех граней тетраэдра равна , поэтому сумма всех плоских углов тетраэдра равна . Следовательно, сумма плоских углов при одной из четырех вершин тетраэдра не превосходит , а значит, сумма двух плоских углов при ней меньше . Пусть для определенности сумма двух плоских углов при вершине А тетраэдра ABCD меньше . Возьмем на ребре АС точку L и построим в плоскости АВС угол ALK, равный углу CAD. Так как , то лучи LK и АВ пересекаются, и поэтому можно считать, что точка К лежит на луче АВ. Аналогично строим на луче AD точку М так, что . Если точка L достаточно близка к вершине А, то точки К и М лежат на ребрах АВ и AD (рис. 29 а). Покажем что плоскость KLM разрезает тетраэдр требуемым образом. В самом деле, , поэтому существует движение пространства, переводящее в (рис. 29 б). При этом преобразовании тетраэдр AKLM переходит в себя.