4. Линейные уравнения высших порядков.

ифференциальное уравнение порядка n вида

y⁽ⁿ⁾(х) + p₁(x) y^(n–1)(х) +… +p_n–1(x) y^'(х) + p_n(x) y(х) = f(x), (1)

где коэффициенты уравнения p_i(x)(i = 1, 2, ..., n) и правая часть f(x) – заданные функции, а у(х) – неизвестная функция, называется линейным.

Линейное уравнение (1) называется однородным, если f(x) º 0, и неоднородным в противном случае.

Для линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) вопрос о существовании и единственности задачи Коши, легко решается на основании следующей теоремы Пикара.

Теорема 1

Если в линейном дифференциальном уравнении (1) все коэффициенты p_i(x) (i = 1, 2, ..., n) и правая часть f(x) непрерывны в интервале (а, b), то при любом х₀ Î (a, b) существует единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

у(х₀) = у₀, у¢(х₀) = у₀₁, ..., у^(n–1)(х₀) = у_0(n–1).

Определение. Пусть   - функции, имеющие все производные до  порядка включительно. Определителем Вронского  функций   называется величина

Определение. Пусть   определены ны интервале . Мы назовем их линейно зависимыми, если существуют постоянные , не все равные 0, такие, что для всех    (4).

Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Линейная независимость означает, что из равенства (4) следует, что .

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Фундаментальной системой решений однородного линейного дифференциального уравнения называется упорядоченный набор из n линейно независимых решений уравнения.

Допустим, что определено общее решение ЛОДУ, соответствующего уравнения (21.8), в котором могут использоваться в качестве функций от . Функции составляют фундаментальную систему решений. Найдем частное решение для уравнения (21.8) в виде , в данном случае являются еще не известными функциями. Для того, чтобы их вычислить, требуется образовать систему уравнений. Получаем Если , то

используем в уравнении (21.8), далее сгруппируем слагаемые с

и :

Выражения, заключенные в круглые скобки являются нулевыми, поскольку представляют собой решения однородного уравнения. Таким образом, для нахождения обозначим систему

Для системы существует только одно решение, поскольку ее определитель .