1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Для дифференциального уравнения первого порядка

   (1)

существует достаточно много методов решений. Выбор каждого метода зависит от вида уравнения, при этом общего метода для решения всех уравнений первого порядка не существует.

Если уравнение можно записать в виде, разрешенном относительно производной

  , (2)

то выбор способа решения определить несколько проще, чем для уравнения (1).

Рассмотрим некоторые частные виды дифференциальных уравнений первого порядка.

К простейшему типу дифференциальных уравнений первого порядка относятся уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка вида (2), причем правая часть этого уравнения представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной: либо от переменной , либо от переменной

   (3)

При этом возможен случай, когда какая-то одна из функций  и  или обе – константы.

Запишем производную в виде   и домножим обе части уравнения (3) на , получим

  .

Следующим шагом попытаемся разделить переменные, то есть сделать так, чтобы каждая часть уравнения содержала бы функции и дифференциалы одной и той же переменной. Этого можно достичь путем деления обеих частей уравнения на :

   (4)

Данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, которое можно проинтегрировать, получив тем самым общее решение (общий интеграл) уравнения (3)

  .

Замечание 1. При делении на  мы можем потерять отдельные особые решения, обращающие функцию  в нуль. Если же в уравнении (3) функция  тождественно равна нулю, то очевидно, что решением уравнения  будет некоторая константа .

Замечание 2. В некоторых случаях полученные интегралы не берутся в элементарных функциях, тем не менее, если существуют какие-то другие способы вычисления полученных интегралов, уравнение считается проинтегрированным.

Уравнение с разделяющимися переменными кроме виды (3) может иметь вид

   (5)

Привести такое уравнение к уравнению с разделенными переменными можно делением обеих частей равенства на произведение :

Полученное равенство можно интегрировать.

2. Однородные

3) квазиоднородное.

Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k‑го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k-1)-го измерений. Например, таким будет уравнение . (6.1)

Действительно при сделанном предположении относительно измерений

x, y, dx и dy члены левой части и dy будут иметь соответственно измерения -2, 2k и k-1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k: -2 = 2k = k-1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то , после чего получаем уравнение .

Интегрируя его, находим , откуда . Это общее решение уравнения (6.1).

4)Линенйное и бернулли.