logo
Дифуры

Уравнения высших порядков.

  • Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения называется такое соотношение , что: 1. Любое решение этого соотношения относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) является частным решением уравнения ; 2. Любое частное решение уравнения может быть получено из общего решения при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Основную теорему - теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка -мы сформулируем для записи уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: . 14.4.1. Постановка задачи Коши для уравнения n-го порядка: требуется найти решение уравнения

    ;

    (17)

  • удовлетворяющее начальным условиям

    • Теорема существования и единственности решения задачи Коши: Пусть функция f(x, y, p1, p2, …, pn-1) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой области D n + 1-мерного евклидового пространства переменных (x, y, p1, p2, …, pn-1), и пусть точка (x0, y0, y1, y2, …, yn-1) принадлежит области D. Тогда в некоторой окрестности точки x0 существует решение уравнения (17), удовлетворяющее начальным условиям (18). Это решение единственно.

    Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Пример: Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде y = cos x + C1x3 + C2x2 + C3x + C4.

    Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не содержащего функции y(x) и k - 1 младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y(k)(x). Тогда z(n-k) = y(n)(x), и относительно z(x) уравнение примет вид , т.е. будет уравнением n - k-го порядка. После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается уравнение y(k) = z(x).

    Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравнения , не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y: . Старшие производные y по x вычисляются по правилу дифференцирования сложной функции: .

    Аналогично, Также находятся следующие производные, и всегда k -ая производная y по x выражается через k-1 -ую производную p по y. В случае уравнения второго порядка в результате таких преобразований получим , т.е. уравнение первого порядка (в котором y выступает как аргумент, p(y) - как неизвестная функция). После нахождения решения p = p(y, C1) этого уравнения решается уравнение , решение которого y = y(x, C1, C2) будет общим решением исходного уравнения.

    Yandex.RTB R-A-252273-3
    Yandex.RTB R-A-252273-4