Коэффициент множественной корреляции

Часто представляет интерес оценить связь одного из признаков со всеми остальными. Делается это с помощью коэффициента множественной корреляции

(3.27)

где - определитель корреляционной матрицы- алгебраическое дополнение к элементу

Оценкой коэффициента множественной корреляции является выборочный коэффициент множественной корреляции, определяемый по формуле

(3.28)

где - определитель корреляционной матрицы- алгебраическое дополнение к элементуКвадраты соответствующих коэффициентов множественной корреляции называют коэффициентами множественной детерминации и обозначают соответственно

Детерминация выражает долю дисперсии в исследуемом признаке, связанную с дисперсией в остальных признаках. Например, исследуется зависимость рентабельностипредприятия от признака- «премии и вознаграждения» и получено=0,458. Это означает, что примерно 45,8% меры изменчивости рентабельности связано с мерой изменчивости признака «премии и вознаграждения». В случае исследования трех переменных и более, как правило,>и показывает, что когда оптимальным образом соединяются остальные признаки в соответствии с уравнением регрессии, то это оказывает благотворное влияние на результативный признак. Рис.3.6 представляет геометрический смысл коэффициента детерминации.

Рис. 3.6. Геометрический смысл коэффициента детерминации

Пример 3.7. Определить оценки коэффициентов множественной корреляции и детерминации первого признака со всеми остальными, используя данные примера 3.6.

Расчетная формула в этом случае имеет вид:

Результаты расчета в среде ЭТ представлены в таблице 3.12.

Статистическую значимость коэффициентов множественной корреляции и детерминации проверяют с помощью критерия Фишера. Проверяется нулевая гипотеза Для этого вычисляют статистику, имеющую- распределение сстепенями свободы (- число фиксированных признаков).

Таблица 3.12. Результаты расчета

По приложению 2 [10] находят критическое значение критерия Фишера. Если расчетное значение критерия Фишера больше критического, то нулевая гипотеза отвергается. В противном случае нет причин отвергнуть нулевую гипотезу.

Для рассматриваемого примера Нулевая гипотеза отвергается. Следовательно, можно говорить о корреляционной связи признакас остальными признаками.

Пример 3.8. Для многомерной выборки объектов недвижимости получена корреляционная матрица, представленная в таблице 3.13. Обозначения в этой таблице:

• - стоимость 1м² внутренней площади, у.е.;

• - величина физического износа, %;

• - доля подвальных помещений в общей площади;

• - стоимость улучшений на 1м² внутренней площади, у.е.

Таблица 3.13. Корреляционная матрица

Определить выборочные частные коэффициенты корреляции результативного признака с каждым факторным признаком и коэффициенты множественной корреляции и детерминации.

Решение. Расчетные формулы в данном случае имеют вид:

В таблице 3.14 приведены результаты расчета в среде ЭТ.

Сравнение частных коэффициентов корреляции с соответствующими коэффициентами парной корреляции показывает, например, что в парной корреляции между стоимостью 1 м² и величиной износа высока доля влияния остальных признаков, так как частный коэффициент корреляции меньше парного (). Это можно объяснить тем, что среди зданий с высоким уровнем износа в выборке чаще встречаются подвальные помещения, на реставрацию которых мало кто желает вкладывать средства.

Величина коэффициента множественной корреляции показывает, что наблюдается заметная связь между стоимостью 1 м² внутренней площади недвижимости и показателями уровня износа, доли подвальных помещений в общей площади, стоимости улучшений на 1 м² . Коэффициент множественной детерминации показывает, что только 43,2% общей дисперсии стоимости 1 м² внутренней площади недвижимости объясняется влиянием исследуемых факторных признаков. Следовательно, в математической модели регрессии не учтены еще важные факторные признаки.

Таблица 3.14. Результаты расчета