3.8. Понятие о многомерном корреляционном анализе

При изучении сложных явлений необходимо принимать во внимание более двух случайных величин. Правильное представление о природе связи между этими величинами можно получить только в случае одновременного исследования всех рассматриваемых случайных величин. Статистиками, характеризующими зависимость между многими СВ в случае линейной корреляции являются множественные и частные коэффициенты корреляции.

Коэффициент множественной корреляции выражает связи (меру тесноты связи) между одной СВ и всеми остальными величинами и служит для определения совместного влияния на изучаемую СВ всех других величин.

Кроме определения коэффициента множественной корреляции, часто важно измерить степень связи между двумя какими-либо рассматриваемыми СВ, когда остальные величины имеют некоторые постоянные значения, т.е. говорят СВ фиксированы. Это можно сделать при помощи методов частной корреляции. Частная корреляция позволяет более глубоко исследовать связь между СВ путем выделения влияния различных причин на изучаемое явление.

В практике чаще всего наблюдаются случаи изменения результативного признака под влиянием нескольких факторных признаков. Исследование корреляционной связи между многими признаками проводится на основе методологии множественной или многомерной корреляции. При этом определяют не один, а несколько показателей тесноты связи:

• коэффициент парной корреляции;

• частный коэффициент корреляции;

• коэффициент множественной корреляции;

• коэффициент множественной детерминации.

Допущения при анализе:

• все признаки генеральной выборки подчиняются нормальному закону распределения;

• парная корреляция между признаками выборки имеет линейный характер.

Частный коэффициент корреляции применяется для измерения тесноты связи между результативным признаком и одним из факторных признаков при условии, что остальные независимые признаки фиксированы.

Пусть имеется нормальная многомерная генеральная совокупность с признакамиВ этом случае взаимозависимость между признаками можно описать корреляционной матрицей. Под корреляционной матрицей понимается матрица, составленная из коэффициентов парной корреляции

, (3.21)

где - коэффициенты парной корреляции;- порядок матрицы, соответствующий числу признаков;

В случае многомерной корреляции зависимости между признаками более многообразны и сложны, чем в двумерном случае. Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между признаками, поэтому вводится понятие частного коэффициента корреляции порядка Если исследуетсяпризнаков, то можно изучать зависимости между двумя из них при фиксированном значениипризнаков изоставшихся. Если фиксируется один признак, то имеем частный коэффициент корреляции первого порядка. При исследовании трех признаков можно определять частные коэффициенты корреляции только первого порядка, так как в этом случае нельзя фиксировать больше одного признака.

Частный коэффициент корреляции первого порядка для признаков ипри фиксированном значениивыражается через коэффициенты парной корреляции и имеет вид

(3.22)

В общем виде формула частного коэффициента корреляции порядка (=) записывается в виде

(3.23)

где - алгебраическое дополнение к элементукорреляционной матрицыи- алгебраические дополнения к элементамитой же матрицы. Алгебраическое дополнение к элементуопределяется соотношением=где- минор (определитель) матрицы, полученной из матрицыпутем вычеркивания-й строки-го столбца.

Получим расчетную формулу для . Корреляционная матрица имеет вид

Определим алгебраические дополнения

Примечание. Матрицасимметричная, т.е.

В соответствии с формулой (3.23) после подстановки в нее алгебраических дополнений получим формулу (3.22).

Оценкой частного коэффициента корреляции порядка является выборочный частный коэффициент корреляции того же порядка. Он вычисляется на основе корреляционной матрицы, содержащей выборочные коэффициенты парной корреляции. В случае признаков выборочный коэффициент парной корреляции определяется по формуле (3.24).

(3.24)

где - порядковые номера признаков;- среднее и 3стандартное отклонение соответствующих признаков.

Формула выборочного частного коэффициента корреляции имеет вид

(3.25)

где - алгебраические дополнения к соответствующим элементам корреляционной матрицы

Пример 3.6. Дана матрица выборочных коэффициентов парной корреляции многомерной выборки четырех признаков объемом. Вычислить оценки частных коэффициентов корреляции первого и второго порядков.

Решение. Определение Так как четвертый признак не участвует в частном коэффициенте корреляции, то в заданной матрице можно вычеркнуть четвертую строку и четвертый столбец. В итоге получим матрицу третьего порядка и формула для вычисления рассматриваемого коэффициента будет аналогична формуле (3.22), т.е.

Оценим статистическую значимость вычисленного коэффициента корреляции. Проверим нулевую гипотезу Вычисляем- статистику Стьюдента по формуле

Число степеней свободы По таблице приложения 3 [10] находим критическое значение=2. Так как расчетное значение статистики больше критического, то гипотезу о равенстве нулю частного коэффициента корреляцииследует отвергнуть и можно говорить о наличии корреляционной связи между признакамиипри фиксированном значении