Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционый момент. Коэффициент корреляции

Случайные величины   называются независимыми, если независимыми являются события   и   для любых вещественных  . В противном случае величины называютсязависимыми.

Общее необходимое и достаточное условие независимости двух случайных величин:

, (11)

где   – любые вещественные числа.

Необходимое и достаточное условие независимости двух непрерывных случайных величин:

, (12)

где   – любые вещественные числа.

Если условные плотности распределения случайных величин   и   равны их безусловным плотностям, то такие величины независимы.

Необходимое и достаточное условие независимости двух дискретных случайных величин:

, (13)

где  ;  .

Числовые характеристики системы двух случайных величин

Средние значения (математические ожидания)   определяют точку  , называемую центром совместного распределения вероятностей или центром рассеивания.

Корреляционный момент и коэффициент корреляции

Числовыми характеристиками связи между случайными величинами являются корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом  , иначе – ковариацией двух случайных величин  называется математическое ожидание произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий:

. (14)

Формулы для вычисления корреляционного момента  :

 (15)

– для непрерывных случайных величин,

 (16)

– для дискретных случайных величин.

Коэффициентом корреляции   двух случайных величин   называется отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений:

. (17)