Коррелированность и зависимость случайных величин. Нормальный закон распределения на плоскости

Две случайные величины X и У называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и У называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю.

Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что µxy =0, а это противоречит условию, так какдля коррелированных величин µxy ≠ 0.

Обратное предположение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю.

Из коррелнрованности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

На практике часто встречаются двумерные случайные величины, распределение которых нормально.  Нормальным законом распределения на плоскостиназывают распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y), если

Мы видим, что нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: а₁, а₂, σ_х, σ_у и r_xу. Можно доказать, что эти параметры имеют следующий вероятностный смысл: а₁, а₂ — математические ожидания,σ_х, σ_у — средние квадратические отклонения, r_xу — коэффициент корреляции величин X и У.  Убедимся в том, что если составляющие двумерной нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то они и независимы. Действительно, пусть X и Y некоррелированны. Тогда, полагая в формулеr_xу = 0, получим

Таким образом, если составляющие нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то плотность совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих, а отсюда и следует независимость составляющих. Справедливо и обратное утверждение. Итак, для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.

19. Содержание

    • Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Статистическое и классическое определение вероятности
    • Аксиомы тв
    • Размещения, перестановки и сочетания
    • Правила суммы и произведения
    • Условная вероятность
    • Формула полной вероятности. Формула Байеса
    • Дискретные случайные величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины и их свойства
    • Функция распределения и её свойства
    • Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности и её свойства. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
    • Распределения дискретной случайной величины
    • Распределения непрерывной случайной величины
    • Закон больших чисел
    • Понятие о теореме Ляпунова. Центральная предельная теорема
    • Многомерные случайные величины. Определение системы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
    • Функция распределения двумерной случайной величины и её свойства
    • Двумерная плотность вероятности и её свойства. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения
    • Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционый момент. Коэффициент корреляции
    • Коррелированность и зависимость случайных величин. Нормальный закон распределения на плоскости
    • Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии. Линейная корреляция. Нормальная корреляция.
    • Основные понятия математической статистики. Числовые характеристика вариативного ряда
    • Основные понятия математической статистики. Числовые характеристика вариативного ряда