Понятие о теореме Ляпунова. Центральная предельная теорема

Теорема Ляпунова — теорема в теории вероятностей, устанавливающая некоторые общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону.

Центральная предельная теорема. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть Х1, Х2, ..., Хn,,…- последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

M(Xk)=ak, D(Xk)= .

Sn = X1 + X2+ . . . +Хn,An= ,

Обозначим функцию распределения нормированной суммы через

Fn(x)=P

Говорят, что к последовательности Х1, Х2, ... применима центральная предельная теорема, если при любом x функция распределения нормированной суммы при п стремится к нормальной функции распределения:

В частности, если все случайные величины X1, Х2,... одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин Xi(i= 1, 2, ...) конечны и отличны от нуля. А.М. Ляпунов доказал, что если для любого δ> 0 при п отношение Ляпунова стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последовательности Х1, Х2,… применима центральная предельная теорема.Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы (Sn— Ап)/Впоказывало на сумму ничтожное влияние.

14. Содержание

    • Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Статистическое и классическое определение вероятности
    • Аксиомы тв
    • Размещения, перестановки и сочетания
    • Правила суммы и произведения
    • Условная вероятность
    • Формула полной вероятности. Формула Байеса
    • Дискретные случайные величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины и их свойства
    • Функция распределения и её свойства
    • Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности и её свойства. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
    • Распределения дискретной случайной величины
    • Распределения непрерывной случайной величины
    • Закон больших чисел
    • Понятие о теореме Ляпунова. Центральная предельная теорема
    • Многомерные случайные величины. Определение системы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
    • Функция распределения двумерной случайной величины и её свойства
    • Двумерная плотность вероятности и её свойства. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения
    • Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционый момент. Коэффициент корреляции
    • Коррелированность и зависимость случайных величин. Нормальный закон распределения на плоскости
    • Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии. Линейная корреляция. Нормальная корреляция.
    • Основные понятия математической статистики. Числовые характеристика вариативного ряда
    • Основные понятия математической статистики. Числовые характеристика вариативного ряда