Утверждение 5 (о запаздывании аргумента). Для любого действительного числа имеет место соотношение: .

Утверждение 6 (о дифференцировании оригинала). Если функция и ее производные являются оригиналами и, то

,

,

.

Утверждение 7 (о дифференцировании изображения) Если ,то. В общем случае,.

Выпишем частные случаи этого утверждения: .

Утверждение 8 (об интегрировании оригинала). Если , то

.

Утверждение 9 (об интегрировании изображения). Если и интегралявляется сходящимся, то.

Утверждения о дифференцировании и интегрировании оригиналов демонстрируют тот факт, что эти операции сводятся соответственно к умножению и делению на их изображений.

Приведем таблицу изображений некоторых основных функций (как и ранее будем считать, что и– комплексные числа,– натуральное число).

Таблица изображений некоторых элементарных оригиналов.

Приведем примеры использования определения и результатов утверждений для нахождения изображений.

Найти изображение функции , используя преобразование Лапласа.

Подчеркнем, что является оригиналом. Так какдля всех, то изображениеэтой функции будет определено и аналитично в полуплоскости. Далее находим:

.

Используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа найти изображения оригинала:

По таблице изображений найдем: .

.

Найти изображение функции , воспользовавшись свойством дифференцирования изображений.

Воспользовавшись таблицей изображений, запишем:

.

Тогда по теореме о дифференцировании получим:

.

Последовательно вычисляя производные, находим:

и далее .

Окончательно запишем: .

Найти изображение функции .

Можно, вычислив интеграл, найти изображение по таблице изображений. Однако в данном случае проще воспользоваться теоремой об интегрировании оригинала. Действительно, имеем: . Тогда по теореме обинтегрировании оригинала имеем право, записать:

.