Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению. Сверткой функций будем называть функцию .

Отметим, что операция свертывания обладает свойством коммутативности: , то есть .

Утверждение 10 (об умножении изображений, или теорема о свертке). Пусть ;. Тогда.

Таким образом, изображением свертки двух оригиналов является произведение их изображений.

Найти свертку функций и:

Приведем два способа решения этой задачи.

Первый способ. Воспользуемся таблицей изображений: и.

Воспользовавшись теоремой о свертке, запишем: .

Итак, изображение свертки найдено. Найдем саму свертку. Для этого, как и в предыдущей задаче, с помощью метода неопределенных коэффициентов представим дробь в виде суммы простейших дробей: . Тогда по таблице изображений запишем:.

Второй способ. Вычислим свертку функций, воспользовавшись определением: .

Интегрируем по частям: . Следовательно,.

Теперь по таблице изображений находим изображение свертки: .

Итак, нами получен тот же результат.

Пользуясь теоремой о свертке, найти оригинал изображения: .

Представим изображение в виде произведения. По теореме о свертке имеем:. Найдем теперь свертку функцийи:

.

Таким образом, .

Заметим, что в данном случае оригинал можно было найти и по таблице изображений.

При нахождении оригиналов по заданным изображениям можно использовать несколько приемов.

Первый состоит в том, что изображение представляется в виде суммы элементарных дробей, каждая из которых является изображением простых оригиналов. Далее, используя таблицу оригиналов и свойство линейности преобразования Лапласа, находят оригинал, соответствующий исходной дроби.

Второй способ состоит в том, чтобы представить дробь в виде произведения дробей, каждая из которых является изображением некоторой функции, и применить теорему о свертке.

Третий способ основан на следующем утверждении:

Утверждение 11 (о разложении). Пусть функция представляет собой правильную рациональную дробь, имеющую полюсы в точках, где. Тогда оригиналом для неё служит функция, где сумма берется по всем полюсам.

Отметим, что данное утверждение допускает некоторое упрощение в случае, когда

а) все корни многочлена, стоящего в знаменателе изображения имеют кратность единица: ,

б) корни многочлена, стоящего в знаменателе изображения кратные:

, .

Приведем примеры использования вышеперечисленных идей при решении задач.

Найти оригинал изображения: .

При работе с первым слагаемым по таблице изображений находим: . Поэтому, по свойству линейности преобразования Лапласа, находим соответствующий оригинал:.

Аналогично преобразуем второе слагаемое в выражении: .

Для нахождения оригинала, соответствующего третьему слагаемому выделим полный квадрат в знаменателе:. С учетом этого запишем:. Окончательно для этого слагаемого получим:.

Для нахождения оригинала, соответствующего последнему слагаемому , воспользуемся утверждением запаздывания оригинала. Так как оригиналдля функции:, то, применив теперь теорему запаздывания оригинала, имеем

Итак, оригинал, соответствующий нашему изображению имеет вид:

.

Найти оригинал изображения: .

Представим дробь в виде суммы простейших дробей .

Воспользуемся стандартной техникой нахождения неопределенных коэффициентов . Приведем правую часть равенства к общему знаменателю. Тогда дроби равны, знаменатели равны, а значит, и числители равны:.

Слева и справа у нас многочлены. По теореме о равенстве двух многочленов два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Тогда запишем соответствующую систему и вычислим коэффициенты разложения:

.

Таким образом, исходную дробь представим в виде .

Следовательно, .

Проиллюстрируем теперь использование теоремы о разложении для нахождения оригиналов, соответствующих изображениям.

Пользуясь теоремой о разложении, найти оригинал изображения:.

Функцияимеет полюсы второго порядка:,и полюс первого порядка. Тогда по тереме о разложении оригиналом дляслужит функция. Вычислим соответствующие вычеты.

,

,

.

Следовательно, имеем право, записать

.

Найти оригинал изображения:.

Заметим, что все корни знаменателя действительные и простые.

При этом , аи.

Итак, корни многочлена знаменателя: .

Найдем соответствующие коэффициенты: ,,,.

Следовательно, .

Приведем также пример ситуации с кратными корнями.

Найти оригинал изображения:.

Разложение изображения на простые дроби имеет вид:.

Найдем коэффициенты этого разложения

;

;

;

;

??????????

Методы операционного исчисления удобно использовать при решении некоторых дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, а также систем таких уравнений. При этом предполагают, что в правой части такого уравнения стоит оригинал некоторой функции. Приведем примеры использования утверждений, касающихся свойств оригиналов и изображений.

Найти частное решение дифференциального уравнения

.

_{Пусть функция , удовлетворяющая данному уравнению имеет изображение: . Тогда воспользовавшись утверждением о дифференцируемости оригинала запишем:}

_{, а .}

Правая часть уравнения преобразуется следующим образом:

_.

Приходим к операторному уравнению: _.

Выразим из полученного уравнения изображение _{частного решения дифференциального уравнения:}

_.

_{Найдем разложение получившейся дроби на сумму дробей, представляющих собой оригиналы элементарных функций.}

_.

_{Следовательно, решение исходной задачи Коши.}

Найти общее решение дифференциального уравнения .

_{Выберем произвольные начальные условия задачи Коши. Пусть . И пусть . Тогда}

_{и , кроме того . И соответствующее операторное уравнение имеет вид: .}

_{Выразим отсюда :}

_.

_{И значит решением исходного уравнения будет функция}

_{. (здесь ).}

_{Решить интегральное уравнение .}

_{Выпишем уравнение для изображений, воспользовавшись утверждением 8 об интегрировании оригинала. (Полагая, что ).}

_{. Выразим функцию изображения . Найдем оригинал, соответствующий данному изображению .}

_{Решить интегральное уравнение .}

_{Отметим, что левая часть уравнения представляет собой свертку функций и . Переходя к соответствующим изображениям запишем}

_{. Выражая из последнего уравнения убедимся . И, значит, этому изображению соответствует оригинал .}

Решить систему уравнений

Пусть и.Выпишем соответствующую операторную систему линейных уравнений

.

Выразим из получившейся операторной системы _{и :}

_{, .}

_{Отметим, что для нахождения соответствующих оригиналов удобно воспользоваться теоремой разложения, учтя при этом, что корни знаменателя имеют первую кратность.}

_{Таким образом , и .}

Найти изображение функции Хевисайда: (см. рис.)

Ранее было получено, что изображением для оригинала является функция,тогда, воспользовавшись теоремой запаздывания, получим: .

Найти изображение функции, заданной следующим графиком:

Аналитически запись этой функции будет выглядеть следующим образом:

Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа, учитывая области определения кусочно-заданного оригинала:

.

Найти изображение ступенчатой функции, изображенной на рисунке.

Аналитически запись этой функции будет выглядеть следующим образом:

. Это легко проверяется графическим сложением функций ,, и т.д., изображенных на одном и том же чертеже. По теореме запаздывания получаем:. Второй сомножитель из правой части равенства представляет собой геометрическую прогрессию, со знаменателем. Так как,, то геометрическая прогрессия сходится, и получаем:.