1) Площадь криволинейного сектора.

Некоторые плоские фигуры удобно описывать в полярных координатах , где – полярный радиус точки , а – её полярный угол (угол, на который надо повернуть в направлении против часовой стрелки положительный луч оси до совмещением с радиус–вектором точки . Формулы полярной замены:

Криволинейный сектор в полярных координатах задаётся в виде

,

где функция определяет границу сектора.

y

x

Площадь криволинейного сектора равна

2) Длина дуги кривой. Пусть кривая задана как график функции , определенной на отрезке . Тогда длина L дуги равна

Если кривая задана в параметрическом виде , тогда

Длина дуги в полярных координатах. Частный случай параметрического задания кривой – её задание в полярных координатах: , . Тогда , и прямое дифференцирование и подстановка производных в формулу длины дуги, заданной в параметрическом виде, дает

3) Объем тела вращения. Многие пространственные объекты удобно представлять себе как множество точек, заметаемых той или иной плоской фигурой при её вращении в трёхмeрном пространстве вокруг какой−нибудь прямой, например, вокруг оси .

y

y = f(x)

a b x

z

Пусть тело получено вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью и прямыми , . Тогда его обьём равен

4) Площадь поверхности тела вращения. В той же ситуации, что и в пункте 3), площадь боковой поверхности тела вращения равна