Интегрирование иррациональных функций

Большинство иррациональных функций не интегрируется в элементарных функциях. Есть лишь некоторые классы иррациональных функций, интегрирование которых с помощью той или иной замены переменной может быть сведено к интегрированию рациональных функций.

1) Интегралы вида где − рациональная функция, а − натуральные числа. Метод интегрирования – замена x= , где N – наименьшее общее кратное чисел .

Пример:

2) Интегралы Метод интегрирования – замена = .

Пример:

=

3) Интегралы вида где m, n и p – рациональные числа (дифференциальный бином). Интегралы такого вида сводятся к элементарным функциям только при следующих соотношениях параметров m, n и p.

Обозначим N наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n. Тогда имеется три случая интегрируемости для дифференциального бинома.

А) p – целое число. Метод интегрирования – замена

Б) – целое число. Метод интегрирования – замена , где s – знаменатель дроби p.

В) + p – целое число. Метод интегрирования – замена , где s – знаменатель дроби p.

Проиллюстрируем случаи Б) и В) на примерах.

i) .

Для данного интеграла , , . Поскольку , избавиться от иррациональности можно, взяв за новую переменную интегрирования радикал .

ii)

Для данного интеграла , , . Поскольку , избавиться от иррациональности можно, взяв за новую переменную интегрирования радикал .

.