Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией, или рациональной дробью, называется выражение вида , где и − многочлены степени n и m соответственно. Если n m, дробь называется неправильной, а если n m, то правильной. Неправильную рациональную дробь можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого используется следующая процедура деления с остатком многочлена на многочлен (алгоритм Евклида).

Пусть , при этом , n m. Умножим на и вычтем получившееся выражение из . В результате получим некоторый многочлен , степень которого строго меньше , и при этом . Если степень все еще больше , применим описанный прием уже к многочлену , и так до тех пор, пока не получим «в остатке» многочлен степени строго меньше . Эта процедура деления разобрана далее на нескольких примерах (деление «уголком»).

Правильная рациональная дробь называется простой, если она принадлежит к одному из нижеперечисленных типов

Примеры простых дробей:

Любая правильная рациональная дробь может быть представлена как сумма простых дробей с подходящими коэффициентами. Такое разложение находят методом неопределенных коэффициентов, который мы проиллюстрируем на одном конкретном примере. Рассмотрим функцию:

. (1)

Составим комбинацию простых дробей, в знаменателях которых присутствуют все возможные делители знаменателя исходной функции:

После приведения этих пяти дробей к общему знаменателю получим:

(2)

Приравняв числители (1) и (2), получим уравнение

(3)

Соотношение (3) должно быть выполнено при всех значениях х. Подставим в (3) пять (по числу неизвестных коэффициентов A, B, C, D, E) различных значений х и получим систему уравнений на A, B, C, D, E:

Можно показать, что у такой системы всегда существует единственное решение. Решив эту систему (например, методом Гаусса), получим требуемое представление

Интегрирование любой простой дроби всегда сводится к интегрированию табличных функций. Приведем несколько наиболее типичных примеров:

1)

2)

3) .

Кратный неразложимый квадратный многочлен в знаменателе дроби.

1 способ. Интегрирование по частям.

2 способ. Замена переменной.

=