4) Избавление от иррациональности с помощью тригонометрических подстановок

В выражениях , , можно избавиться от радикалов, заменяя x на подходящую тригонометрическую функцию. Список замен приведен в таблице.

Интеграл	Замена

Примеры.

i)

ii)

iii)

5) Подстановки Эйлера. Подстановки Эйлера помогают избавиться от иррационального вида .

Пример.

Интегрирование рациональных функций от sin x и cos x.

1) Интегралы вида , , .

Различают два случая:

а) хотя бы одно из чисел p или q нечетно; тогда в качестве новой переменной интегрирования берут функцию sin x (если q нечетно) или cos x (если p нечетно).

б) если p и q оба четны, делают замену t = tg x или t = ctg x.

Примеры. i)

ii)

Поделим на с остатком:

Таким образом