12.Понятие уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений.

Пусть f (x) и y (x) 2 выражения с переменной х и областью определения Х, тогда высказывательная форма или предикат f (x) = g (x) называется уравнением с одной переменной. Значение переменной х из области определения Х, при котором уравнение обращается в истинное численное равенство называется корнем уравнения или его решением. Решить уравнение это значит найти множество его корней.

При решении уравнений выполняются различные преобразования. При этом в результате мы можем либо потерять корни, либо получить посторонние корни. Поэтому важно выполнять преобразование так, чтобы новые уравнения были равносильными данному уравнению. Два уравнения называются  равносильными, если множества их корней совпадают. Рассмотрим теоремы о равносильности уравнения:

1.(теорема) если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и тоже выражение с переменной определенное на том же множестве Х, то получим уравнение равносильное данному.

F (x) = G (x) область определения на множестве Х и h (x) выражение с переменной          

f (x) + h (x) = g (x)+h (x).  Из этой теории вытекают 2 следствия:

1. если к обеим частям уравнения с областью определения х прибавить одно и тоже число, то получим уравнение равносильное данному.

2. если какое либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получим уравнение равносильное данному.

2. (теорема) если обе части уравнения с областью определ. Х умножить на одно и тоже выражение с переменной определенное на том же множестве Х и не обращающееся на нем в 0, то получим уравнение равносильное данному.

F(x) = g(x) - с областью определения Х и h (x) не равно 0

F (x) ? h( x) = g (x)? h( x)

Из этой теоремы следствие:

Если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и тоже число отличное от 0, то получим уравнение равносильное данному.

Формирование представления об уравнении в начальном курсе математики. Методика обучения решению уравнений.

В начальном курсе математики уч - ки знакомятся с понятием с понятием уравнение и его решением. Изучение материала осуществляется в 2 этапа. На 1 этапе уч - ки знакомятся с понятием уравнение, его решением и решают уравнения методом подбора. Уч - ль предлагает уч-кам математическую запись с окошком  и просит определить какое из предложенных чисел можно поставить в окошко, чтобы равенство было верным:

8( в окошке)+4=12 (6,8,7 ).

Далее уч - ль говорит, что число в окошке неизвестно в матем. Неизвестные числа принято обозначать маленькими латинскими буквами, например: х. Получаем запись:

х+4=12 - эта запись называется уравнением.

Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, которое нужно найти.

Решить уравнение - значит найти такое значение х, при котором равенство будет верным.

В нашем случае х= 8, т.к. если вместо х  поставим число 8, то получим верное равенство. На 2 этапе уч - ки решают уравнения на основе правил, устанавливающих связь между компонентами арифметических действий. Уч - ки последовательно рассматривают уравнения на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя. Методика изучения одна и таже. Рассмотрим на примере решения уравнения на нахождение неизвестного множителя. Сначала проводиться подготовительная работа: уч - ки вспоминают связь между компонентами действия умножения. С этой целью им можно предложить заполнить таблицу:

1 множитель:   12;  -;   -;  16                        Моро 4 класс стр. 83

2 множитель:     -;  5;   8;   -

Произведение:48;30;  48; 64

Заполняя таблицу уч - ки объясняют, как они нашли неизвестное число, вспоминая правило: чтобы найти неизвестный множитель надо произведение им разделить на другой множитель. После этого уч - кам предлагается уравнение х умножить на 8 =96.

Уч -ль приводит образец рассуждений и образец записи.

Образец рассуждений: нам неизвестен 1 - ый множитель, мы знаем, если произведение разделить на один из множителей, то получим другой множитель.

Найдем неизвестный множитель 96:8=

х ? 8=96

х = 96:8   вычислим

х=12

12 ?8 =96    вычислим и выполним проверку, для этого в уравнение вместо х                подставим найденное значение.

96 =96

Получим верное равенство значит, решено, верно.

2 вопрос:

Данное задание целесообразно предложить уч - кам на этапе формирования понятия - уравнение. Уч - ки будут искать уравнение, но его существенным признаком является наличие буквы и знака равно. В 1 столбике: 1,3,4, во2 столбике: 1,2,3, в 3 столбике все.