Отношения. Свойства бинарных отношений (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность). Привести примеры.

Отношения это один из способов задания взаимосвязи между элементами множества. ОТНОШЕНИЕ - подмножество конечной декартовой степени   данного множества А, т. е. подмножество систем (a₁, а₂,.., a _п).из пэлементов множества А.

Подмножество   наз. п- местным, или n-арным, отношением в множестве А. Число n наз. рангом, или типом, отношенияR. Подмножество   наз. также n-местным, или n-арным, предикатом на множестве А . Запись  означает, что  .Одноместные О. наз. свойствами. Двуместные О. наз. бинарными, трехместные О. - тернарными и т. д.

Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как

• Рефлексивность:  В математике бинарное отношение R на множестве X называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении R с самим собой.

Формально, отношение R рефлексивно, если  .

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент имеет петлю — дугу (х, х).

• Антирефлексивность:  Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества X, то отношение R называется антирефлексивным.

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения R определяется как:  .

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества X, говорят, что отношение R нерефлексивно.

• Симметричность:  В математике бинарное отношение R на множестве X называется симметричным, если для каждой пары элементов множества (a,b) выполнение отношения   влечёт выполнение отношения  .

Формально, отношение R симметрично, если  .

• Антисимметричность:  В математике бинарное отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для каждой пары элементов множества a,b выполнение отношений aRb и bRaвлечёт a = b, или, что то же самое, выполнение отношений aRb и bRa возможно только для равных a и b. Формально, отношение R антисимметрично, если 

• Транзитивность:  В математике бинарное отношение R на множестве X называется транзитивным, если для любых трёх элементов множества a,b,c выполнение отношений aRb и bRc влечёт выполнение отношения aRc.

Формально, отношение R транзитивно, если  .

Примеры рефлексивных отношений

отношения эквивалентности:

отношение равенства 

отношение сравнимости по модулю

отношение параллельности прямых и плоскостей

отношение подобия геометрических фигур;

отношения нестрогого порядка:

отношение нестрогого неравенства 

отношение нестрогого подмножества 

отношение делимости 

[править]Примеры антирефлексивных отношений

отношение неравенства 

отношения строгого порядка:

отношение строгого неравенства 

отношение строгого подмножества 

отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в геометрии.

Пример:

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным). Также симметрично отношение связи вершин графа(неориентированного).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного), а также отношение следования вершин ориентированного графа. Однако, отношение сравнимости для частичного порядка является, по построению, симметричным (хотя, в отличие от самого́ порядка, не транзитивным).

Равенство: a = b и b = c, значит a = c (на самом деле, отношение равенства вместе с отношением эквивалентности и параллельности прямых обладает более сильным свойством также ещё и «равенства третьему» по причине своей симметричности)