Множество. Мощность множества. Нахождение мощности объединения множеств (для двух множеств, для трех множеств, для n-множеств). Привести пример.

под множеством понимается, совокупность каких либо объектов произвольной природы, обладающая некоторым общим признаком.

Пусть даны два множества A и B. Тогда они называются равномощными, если между ними существуетбиекция  . Из свойств биекции следует, что равномощность является отношением эквивалентности. Мощностью или кардинальным числом множества A называется соответствующий ему класс эквивалентности. Мощность множества обозначается | A | . Тот факт, что два множества равномощны, записывается: | A | = | B | .

1. Мощность объединения двух множеств:

2. Мощность объединения трех множеств:

Доказательство:

3. Мощность объединения   множеств:

Теорема.   - некоторые множества, тогда мощность объединения   множеств определяется по формуле

Правая часть этой формулы является суммой   слагаемых,   -е по порядку слагаемое имеет вид  , где   есть сумма чисел мощностей   по всем возможным пересечениям k разных множеств из множеств

Пример. На потоке из 100 студентов 28 человек изучают английский язык, 30 человек - немецкий язык, 42 человека - французский язык. Причем 8 человек изучают два языка - английский и немецкий, 10 человек изучает английский и французский языки, 5 человек - немецкий и французский языки. 3 человека изучают все 3 языка. Сколько студентов не изучает ни один из перечисленных языков?

Пусть   - множество студентов,   (студентов).   - множество студентов, изучающих английский язык,   ;   - множествостудентов, изучающих немецкий язык  ,   - множество студентов, изучающих французский язык,  .

Соответственно множества студентов, изучающих по 2 или 3 иностранных языка заданы следующим образом:  .

 - множество студентов, изучающих иностранные языки.

 - множество студентов, не изучающих иностранный язык.