Векторы. Прямое произведение множеств. Мощности прямого произведения множеств.
Вектор (или кортеж) - это упорядоченный набор элементов. Например, . Элементы вектора называются координатами или компонентами. Число координат - длина вектора (размерность).
Координаты вектора могут совпадать .
Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и равны соответствующие координаты: и
Проекцией вектора на ось ( ) называется его i-я компонента.
Проекцией вектора на оси с номерами называется вектор длины .
Пример: ,
Прямое произведение
Прямым (декартовым) произведением множеств и ( ) называется множество всех векторов , таких, что :
Если , то . Аналогично для нескольких множеств. Прямым произведением множества называетсямножество всех векторов длины , таких, что .
Примеры.
Множество - множество точек плоскости, точнее пар вида , где и являются координатами.
.
Тогда - множество всех 64 клеток шахматной доски.
- множество букв, символов, знаков препинания и т. д. Тогда элементы множества - слова длины . Множество всех слов составляет язык.
.
Следовательно, .
Теорема о мощности прямого произведения
Пусть - конечные множества. Соответственно мощности этих множеств равны: .
Тогда мощность прямого произведения множеств равна произведению мощностей соответствующих множеств, т.е. .
Доказательство методом математической индукции.
Для теорема тривиально верна. Предположим, что она верна и для и докажем ее справедливость для .
По предположению . Возьмем любой вектор из и припишем справа элемент . Это можно сделать способом, т. е. получим различных векторов из .
Таким образом, из всех векторов приписыванием справа элемента из можно получить векторов, причем все они различны. Поэтому для теорема верна и, следовательно, верна для любых .
Следствие:
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Универсальное множество: Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.
- Множество. Способы задания множеств (перечислением или списком, порождающей процедурой, описанием характеристического свойства). Привести примеры.
- Объединение более чем двух множеств. Пусть дано семейство множеств Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:
- Алгебра множеств. Законы алгебры множеств. Доказать один из законов алгебры множеств.
- Множество. Мощность множества. Нахождение мощности объединения множеств (для двух множеств, для трех множеств, для n-множеств). Привести пример.
- Векторы. Прямое произведение множеств. Мощности прямого произведения множеств.
- Отношения. Основные понятия отношений (отношения; унарные, бинарные, n-местные отношения)
- Отношения. Бинарные отношения. Основные понятия (определение, обозначения, область определения, область значений, способы задания бинарных отношений). Привести примеры.
- Способы задания бинарных отношений
- Отношения. Свойства бинарных отношений (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность). Привести примеры.
- Переключательные (булевы) функции. Происхождение булевых функций.
- Булевы функции от одного аргумента. (Определение. Все булевы функции от одного аргумента).
- Булевы функции от двух аргументов (Определение булевой функции двух аргументов, тождественный ноль, тождественная единица, конъюнкция, штрих Шеффера, дизъюнкция, стрелка Пирса (функция Вебба)).
- Свойства дизъюнкции, конъюнкции и отрицания (теорема 4.3).
- Свойства эквиваленции, импликации и отрицания (теорема 4.4).
- Выражение одних булевых функций через другие (теорема 4.5).
- Булевы функции от n аргументов (определение, равенство булевых функций, суперпозиция булевых функций). Булевы функции от n переменных
- Булевы функции и формулы алгебры высказываний.
- Нормальные формы булевых функций.
- Применение булевых функций к релейно-контактной схеме. Две основные задачи теории релейно-контактных схем.
- Релейно-контактные схемы в эвм. Двоичный полусумматор. Одноразрядный двоичный сумматор.
- Графы. Основные понятия и определения (вершины, ребра, петли, кратность ребра, псевдограф, мультиграф, граф, орграф, неориентированный граф). Привести примеры.
- Графы. Матричное задание графов. Матрица смежности, матрица инцидентности. Привести примеры.
- Графы. Свойства матрицы смежности и инцидентности. Утверждение о числе всех путей (маршрутов) длины k из одной вершины в другую. Утверждение о наличие хотя бы одного контура.
- Графы. Связность. Компоненты связности. (Достижимость вершины, связный (сильно связный орграф) граф, слабо связанный, несвязанный, компонента связности (сильной связности)). Привести примеры.
- Графы. Матрицы связности. Утверждение о матрицах связности, матрицы достижимости, матрицы сильной связности.
- Графы. Поиск путей (маршрутов) с минимальным числом дуг (ребер). Алгоритм фронта волны.
- Графы. Минимальные пути (маршруты) в нагруженных орграфах (графах). Алгоритм Форда-Беллмана.