11. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.

Скалярное произведение векторов - число = произвед длин на косинус между ними.

Скалярное произ 2х векторов = модулю одного умноженного на проекцию другого на соноправленную с 1-ым вектором ось.

Свойства:

1. a*b=b*a

2. (C*a)*b=C*(a*b)

3. a(b+c)=a*c+b*c;

4.

5. (a, b) = 0 =>

6. ij = jk = kj = 0.

Теорема 1: в пространстве R³ в ортонормированном базисе :

Следствие из Т1:

Для вектора :

Механический смысл скалярного произведения:

Пусть - сила, которая перемещает тело в направлении вектора S ( на длину ) =>

12. векторное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.

Три некомпланарных вектора a, b, с взяты в указанном порядке и образуют правую тройку, если с конца 3-его вектора с кратчайший поворот от 1-ого a ко 2-ому b видим совершающийся против часовой стрелки, и левую – если по часовой.

Векторное произведение вектора a на b - это c, который:

1)с перпендикулярно a и b;

2)имеет длину, численно равную площади параллельного, параллелограмма на векторах |c|=|a|*|b|*sinσ; 3) векторы a, b, с образ правую тройку.

Замечание: Из определения вытекает след соотношения между ортами ijk:

1. i*j=k;

2. j*k=i;

3. k*i=j;

Свойства:

1)векторное произ при перестановке множителей меняет знак. ( )

2)два ненулевых вектора коллинеарны, когда их векторное произв =0.

Пункты: 1)условие коллиниарности: a//b => a*b=0;

2)нахождение S параллелограмма и S треуг. Sпар= sin . Sтр=0,5*

3)определение момента силы. |M|=|F|*|S|.

Теорема:

,