11. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
Скалярное произведение векторов - число = произвед длин на косинус между ними.
Скалярное произ 2х векторов = модулю одного умноженного на проекцию другого на соноправленную с 1-ым вектором ось.
Свойства:
1. a*b=b*a
2. (C*a)*b=C*(a*b)
3. a(b+c)=a*c+b*c;
4.
5. (a, b) = 0 =>
6. ij = jk = kj = 0.
Теорема 1: в пространстве R3 в ортонормированном базисе :
Следствие из Т1:
Для вектора :
Механический смысл скалярного произведения:
Пусть - сила, которая перемещает тело в направлении вектора S ( на длину ) =>
12. векторное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
Три некомпланарных вектора a, b, с взяты в указанном порядке и образуют правую тройку, если с конца 3-его вектора с кратчайший поворот от 1-ого a ко 2-ому b видим совершающийся против часовой стрелки, и левую – если по часовой.
Векторное произведение вектора a на b - это c, который:
1)с перпендикулярно a и b;
2)имеет длину, численно равную площади параллельного, параллелограмма на векторах |c|=|a|*|b|*sinσ; 3) векторы a, b, с образ правую тройку.
Замечание: Из определения вытекает след соотношения между ортами ijk:
1. i*j=k;
2. j*k=i;
3. k*i=j;
Свойства:
1)векторное произ при перестановке множителей меняет знак. ( )
2)два ненулевых вектора коллинеарны, когда их векторное произв =0.
Пункты: 1)условие коллиниарности: a//b => a*b=0;
2)нахождение S параллелограмма и S треуг. Sпар= sin . Sтр=0,5*
3)определение момента силы. |M|=|F|*|S|.
Теорема:
,
- 3. Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.
- 4. Обратная матрица. Процедура ее нахождения. Аннулирование матриц.
- 5. Ранг матрицы. Способы нахождения.
- 6. Невырожденные системы слау. Способы решения.
- 7. Метод Гаусса. Произвольные слау. Теорема Кронекера-Капелли.
- 8. Однородные слау. Фундаментальная система решений.
- 10. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами. Коллинеарность и компланарность. Базис. Координаты.
- 1. Умножение вектора на число:
- 2. Сумма двух векторов:
- 11. Скалярное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- 13. Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства.
- 18. Взаимное расположение прямой и плоскости.
- 19. Эллипс.
- 20. Гипербола.
- 21. Парабола.
- 22. Эллипсоид.
- 22. Гиперболоид и конус.
- 24. Параболоид.
- 30. Графики в полярной системе координат и параметрически заданных функций.
- 27. Действительные числа.
- 32. Множества и операции над ними.
- 28. Предел последовательности.
- 29. Теоремы о пределах последовательности.
- 30. Предел функции.
- 31. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- 32. Односторонние пределы.
- 33. Сравнение бесконечно малых.
- 34. Теоремы о пределах.
- 35. Первый замечательный предел.
- 36. Второй замечательный предел.
- 37. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- 38. Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность на отрезке. Равномерная непрерывность.
- 39. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- 40. Дифференциал. Дифференцируемость.
- Свойства дифференциала.
- 41. Производная и дифференциал сложной функции.
- 42.Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование.
- 43. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.
- 50.Асимтоты. Общая схема исследования функции
- 56. Предел, непрерывность и частные производные функции нескольких переменных.
- 57. Полный дифференциал. Производные высших порядков.
- 58. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции нескольких переменных.
- 59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в области.