41. Производная и дифференциал сложной функции.

Производная сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

Доказательство.

( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда . Теорема доказана.

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

П усть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х- независимая переменная, то

dx = x, но

если х зависит от t, то х  dx.

Таким образом форма записи dy = f(x)x не является инвариантной.