29. Теоремы о пределах последовательности.

Теорема 1: (необходимый признак числовой последовательности):

если последовательность сходится, то она ограничена. , если последовательность неограниченна, то она расходится.

Теорема Вейерштрасса: сформируем достаточный признак числовой последовательности: всякая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Теорема : если две последовательности {x_n}и {y_n} сходятся, т.е. имеют конечные пределы, то сходятся также сумма, разность, произведение, частное этих последовательностей, т.е.: => и тд.

Теорема: если и начиная с некоторого номера выполняется неравенство x_n y_n, то а b.

Доказательство: допустим, что а>b. Из равенств следует, что для любого >0 найдется такое натуральное число N( ), что при всех n>N( ) будут выполняться неравенства и т.е.

и . Возьмем . Тогда: отсюда следует, что x_n>y_n, это противоречит условию x_n y_n следовательно, а b.