Primer_otcheta_vidimo_khoroshy_za_starshy_sem

Фрактальная размерность по Хаусдорфу

Определение меры Хаусдорфа опирается на математическую абстракцию практического способа измерения длин, площадей и объемов, когда измеряемый объект покрывается эталонами с определенными мерами. Для обычных объектов оценки мер сходятся при предельном переходе к ассимптотике, являющейся истинной мерой объекта.

Для некоторых объектов (множеств) такие оценки не сходятся либо дают нулевой результат. По Хаусдорфу обобщение меры заключается в том, что эталоны могут быть любыми множествами из некоторого класса, а приписываемая им мера определяется любой неотрицательной функцией множеств из указанного класса. В частности, пусть , где – диаметр множества . В этом случае мера Хаусдорфа называется α-мерой.

Дадим точное определение размерности Хаусдорфа–Безиковича. Пусть совокупность множеств с диаметром , где ε – действительное число, образует счетное покрытие множества X. Тогда для каждого определим .

Положим . Тогда по определению размерности Хаусдорфа–Безиковича, D – это точная верхняя грань множества таких действительных чисел d, для которых . Важно подчеркнуть, что D – не обязательно целое число и D не является топологическим инвариантом, так как она зависит от метрики, введенной на данном множестве. Однако нижняя грань для всех D, соответствующих всем метрикам на данном множестве, есть его топологическая размерность: .

Содержание