3.2.2 Границя функції. Обчислення границь

Нехай функція визначена в деякому околі Х точки , крім, можливо, самої точки . Число А є границею функції в точці , якщо для довільного числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють нерівність

,

виконується нерівність

.

Позначення:

.

Функція при є нескінченно великою (має границю ), якщо вона визначена в деякому околі точки, крім, можливо, самої точки , і для довільного числа існує таке , що для всіх , які задовольняють нерівність

,

виконується нерівність

.

Позначення:

.

Функція при є нескінченно великою (має границю ), якщо вона визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , і для довільного числа існує таке , що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується нерівність

.

При функція є нескінченно великою, якщо для довільного числа можна знайти таке число , що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується нерівність .

Функція є нескінченно великою при (), якщо .

Деякі властивості нескінченно малих величин:

1. якщо при () - нескінченно мала, а - нескінченно велика величина, то при () і - відповідно нескінченно велика і нескінченно мала велечини;

2. сума скінченого числа нескінченно малих величин є нескінченно малою величиною;

3. добуток обмеженої функції на нескінчену малу є нескінченно малою величиною;

4. частка від ділення нескінченно малої величини на функцію, яка має відміну від нуля границю, є нескінченно малою величиною.

Якщо кожна з функцій та має скінчену границю при (), то справедливі формули:

1)

2)

3)

4)

При обчисленні границь часто використовують такі границі:

- перша важлива границя;

- друга важлива границя.

Число є границею функції зліва(лівою границею) в точці

Число є границею функції справа(правою границею) в точці , якщо для будь-якого числа існує таке, що при виконується нерівність

Ліва і права границі функції називаються односторонніми границями.