7.3.1 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, (1)

де і - задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Розв’язок рівняння (1) знаходиться у вигляді

, (2)

де , - невідомі функції, причому одна з цих функцій довільна (але не дорівнює тотожно нулю).

Рівнянням Бернуллі називається рівняння виду

, , (3)

При - це рівняння лінійне, а при - з відокремлюваними змінними. Заміною рівняння (3) зводиться до лінійного рівняння відносно функції .

На практиці розв’язок рівня зручніше шукати у вигляді , не зводячи його до лінійного рівняння.

Рівняння виду

(4),

де , , - задані функції, називаються рівнянням Ріккаті.

Коли , рівняння (4) стає лінійним, у разі - рівняння Бернуллі. У загальному випадку рівняння (4) не інтегрується в квадратурах. Якщо відомий частинний розв’язок рівняння (4), то зміною рівняння Ріккаті

зводиться до рівняння Бернуллі.