7.1.1 Загальні поняття та означення. Геометричний зміст диференціального рівняння

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, (1)

яке пов’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідну.

Розв’язком диференціального рівняння (1) на деякому

інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (1)

перетворює його в тотожність по на .

Функція , яка залежить від аргументу і довільної сталої , називається загальним розв’язком рівняння(1) в області , якщо вона задовольняє дві умови:

1) функція є розв’язком рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини;

2) для довільної точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову:

.

Частинним розв’язком рівняння (1) називається функція

, яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні сталої .

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння , то такий розв’язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння (1). Рівність називають частинним інтегралом рівняння.

І. Перевірити, чи є розв’язками даних диференціальних рівнянь указані функції. :

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , .

ІІ. Довести, що для даних диференціальних рівнянь указані функції є розв’язком при будь-якому значенні , і знайти частинні розв’язки, що задовольняють початковим умовам:

1. , , .

2. , , .

ІІІ. Чи є слідуючі функції

а) ; a) ;

1. b) ; 2. b) ;

c) ; c) .

розв’зком рівнянь:

1. . 2. .

ІV. Знайти значення , при яких задана функція є розв’язком рівняння:

1. , ;

2. , .