6.2.1 Повний диференціал функції та його застосування до обчислення значень функцій та похибок

Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді

,

де та – дійсні числа, що не залежать від та , і - нескінченно малі при і функції. Повним диференціалом функції називається головна лінійна частина приросту функції, яка обчислюється за формулою

,

де , .

Аналогічна формула вірна для диференційованої функції трьох змінних :

.

Для наближеного обчислення значення функції, наприклад, двох змінних користуються наближеною рівністю

.

Максимальна абсолютна похибка змінної обчислюється за формулою

,

де - максимальна абсолютна похибка змінної .

Максимальну відносну похибку зручно оцінювати

за формулою .

І. Знайти повний диференціал функцій:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10.

11. ; 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18..

ІІ. Знайти значення повного диференціала функції:

, при , , , .

ІІІ. Знайти повний диференціал функції , обчислити його значення при , , , , , . Знайти абсолютну і відносну похибку наближення: і .