42. Моделирование и подобие; динамические аналогии; критерии подобия. Пи-теорема.

p - критерий подобия; безразмерная величина, но является отношением размерных величин

M = v/a- число Маха, отношение скорости объекта к скорости звука.

Если М<1, то работает докритическое течение.

При М>1 происходят скачки уплотнения.

М=1- граница между событиями, надкритическое течение.

Докритическое и надкритическое течения качественно отличаются.

Методы получения критериев подобия. Метод основан на использовании:

а). p - теоремы (теоремы Букингема)

б). Метода интегральных аналогов

В основе лежит теория размерности. A = {A}[A]

[A] - единицы размерности, т.е. A = {30}[км/час]

Есть единицы основные и произвольные.

p - теорема Всякое полное уравнение физического процесса записанное в определенной системе единиц может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия, т.е. безразмерных соотношений, составленных из входящих в уравнение переменных и параметров.  f(P1, P2,..., Pi,..., Pk,..., Ps,..., Pm) = 0 1 £ i £ k k+1 £ s £ m f(P1/P01;P2/P02,...;Pi/P0i,...;Pk/P0k,...;Ps/P0s,...;Pm/P0m)=0 Основные и производные единицы. Производные можно выразить через основные. Для этого надо: а) Выбрать те параметры, которые являются независимыми. б) Выразить зависимые через независимые. Имеем матрицу размерностью [m´n], в которой число строк больше числа столбцов (m > n). Ранг не больше n.

Пусть P₁,..., P_k - независимые параметры; P_k+1,..., P_m - зависимые параметры. P_k+1,..., P_m. следует выразить через P₁,..., P_k Тогда получим f(1,...,1, p ₁,..., p_s-k,..., p_m-k) = 0 Каждый параметр P выражается в виде Р = {Р}[Р] где {Р}- число, [Р] - размерность.   [P₁] = [a^a1, b^b1,..., q^x1] = [P₀₁] [P_i] = [a^ai, b^bi,..., q^xi] = [P_0i]

D_i,k+1 - определитель, в котором i-ая строка заменена (k+1) строкой из формул размерности.

_k [P_0,s] = Õ[P_0i]^{Di,s/D i=1} Di,k+1/D = x_i Di,s/D = y_i Di,m/D = z_{i k} [P_0,k+1] = Õ[P_0i]^xi = p ₁ ⁱ⁼¹