Розв’язання.

1. Знайдемо похідну .

2. Знаходимо критичні точки Інших точок немає .

3. Результати обчислень заносимо в табл. 1.

Таблиця 1

4. Знаходимо:

.

.

Графік досліджуваної функції подано на рис. 7.

Друга достатня умова екстремуму: якщо перша похідна два рази диференційовної функції дорівнює нулю в деякій точці , а друга похідна в цій точці додатна, то х₀ є точкою мінімуму функції f(x); якщо від’ємна, то х₀ – точка максимуму.

Доведення. Нехай а Це означає, що також в деякому околі точки , тобто – зростаюча на (а;b), який містить точку . З умови зростання випливає, що на (а; ) і на ( ;b). Але Це означає, що на , а на – . Тобто при переході через похідна змінює знак з мінуса на плюс, а отже – точка мінімуму.