5.7. Асимптоти графіка функції

Означення. Пряму лінію називають асимптотою кривої , якщо відстань точки М кривої від цієї прямої прямує до нуля при віддалені точки М в нескінченість.

Асимптоти бувають вертикальні, горизонтальні та похилі.

Пряма є вертикальною асимптотою, якщо хоча б одна із границь або Якщо лише або , то функція має лише односторонню асимптоту.

Пряма є горизонтальною асимптотою, якщо .

Рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді , де a і b деякі коефіцієнти.

Виходячи з означення асимптоти можемо записати (d – відстань від прямої до асимптоти)

З останнього випливає

. Звідси .

Якщо існує скінчене то коефіцієнт b знаходиться за допомогою границі

Приклад. Знайти асимптоти кривої . Асимптоту будемо шукати у вигляді , де

, .

Таким чином асимптотою є пряма .

Знайдемо екстремальні точки. Знаходимо похідну і прирівнюємо її до нуля

Рис. 8

Знаходимо розв’язок рівняння:   . Точка є екстремальною точкою.

Дослідимо знак другої похідної в екстремальній точці: . Поклавши , одержимо, що , а отже, в точці функція має мінімум (див. рис. 8).

Загальна схема дослідження функцій і побудова їх графіків

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на парність-непарність.

3. Знайти вертикальні асимптоти.

4. Дослідити поведінки функції на нескінченності, знайти горизонтальні та нахилені асимптоти.

5. Знайти екстремуми і інтервали монотонності функції.

6. Знайти інтервали опуклості та угнутості і точки перетину.

7. Знайти точки перетину з осями координат і, можливо, деякі додаткові точки, які уточнюють графік функції.

Приклад 1. Дослідити функцію та побудувати її графік.

1. Область визначення. Розрив у точці . Отже .

2. Перевірка парності. . Це означає, що дана функція не буде ні парною, а ні непарною.

3. Знайдемо вертикальні асимптоти: . Це означає, що дана функція має вертикальну асимптоту .

4. Знайдемо нахилені та горизонтальні асимптоти :

,

Отже – горизонтальна асимптота.

5. Знайдемо екстремуми:

.

Звідси а отже – точка екстремуму.

Результати досліджень зведено в табл. 2

Таблиця 2

Рис.9.

6. Знайдемо інтервали опуклості, угнутості і точки перегину за допомогою другої похідної:

.

З умови рівності другої похідної нулю знаходимо:  . З нижче наведеної табл. 3 видно, що ця точка є точкою перегину. Графік досліджуваної функції наведено на рис. 9.

Таблиця 3

Приклад 2. Дослідити та побудувати графік функції , яка називається логістичною кривою. В економіці її використовують для визначення тенденції росту виробництва предметів споживання. Дослідження провести при .

Рис. 10

1. область визначення функції: уся дійсна числова вісь;

2. точки розриву відсутні;

3. в ертикальні асимптоти відсутні, але є горизонтальні вигляду :

ln2

, .

Таким чином крива має дві горизонтальні асимптоти: – правостороння і – лівосто­рон­ня;

4. точки перетину з віссю абсцис відсутні, функція додатна для всіх х;

5. похідна для всіх х, це означає, що функція зростаюча у всій області, а отже не має екстремумів;

6. друга похідна при , це означає, що точка з координатами є точкою перегину, оскільки друга похідна міняє знак при переході через точку з абсцисою ;

7. точка перетину графіка функції з віссю ординат: ;

8. графік функції подано на рис. 10.