5.2. Правило Лопіталя

Для обчислення границь функцій часто використовують правило Лопіталя, яке полягає в застосуванні похідних для розкриття невизначеностей певних типів.

Теорема. Нехай функції , визначені і диференційовні в околі точки , за винятком, можливо, самої точки , причому

або

і в указаному околі . Тоді, якщо існує границя відношення похідних , то існує і границя відношення функцій і ці границі рівні між собою, тобто

. (2)

Зауваження 1. Теорема справедлива і в тому випадку, коли . Справді, поклавши , маємо

.

Таким чином, якщо маємо невизначеності вигляду або при або при , тоді має місце рівність (2).

Зауваження 2. Якщо похідні і задовольняють ті ж самі умови, що і функції і , то теорему можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо

.

Взагалі кажучи, сформульовану теорему можна застосовувати доти, поки не прийдемо до відношення похідних , яке має певну границю при . Тоді цю саму границю матиме й відношення функцій, тобто

.

Приклад 1. Знайти .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Застосовуючи правило Лопіталя, одержимо

.

Приклад 2. Знайти .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Застосовуючи правило Лопіталя, одержимо

.

Приклад 3. Знайти .

Розв’язання. Маємо невизначеність . .

Зауваження. Задану границю можна легко знайти, скориставшись наближеною формулою при малих значеннях х ( ). Справді,

.

Правило Лопіталя можна використовувати повторно.

Приклад 4. Знайти .

Розв’язання. Оскільки маємо невизначеність , то

.

Зауваження. Задану границю можна також знайти, скориставшись наближеною формулою при малих значеннях ( ). Справді,

.

Застосування правила Лопіталя до розкриття невизначеностей та можливе лише після перетворення їх до вигляду або . У випадку невизначеності , якщо, , при , то , якщо зводити до невизначеності або , якщо зводити до невизначеності .

Приклад 5. Знайти .

Розв’язання. Маємо невизначеність . Виконаємо перетворення функції так, щоб можна застосувати правило Лопіталя.

.

Приклад 6. Знайти .

Розв’язання. Оскільки , а , то маємо невизначеність . Для знаходження границі виконаємо перетворення із застосуванням правила Лопіталя

Приклад 7. Знайти .

Розв’язання. Оскільки і , то маємо невизначе­­ність , яку шляхом простих перетворень можна звести до невизначеності .

Справді,

.

Розкриття невизначеностей вигляду або зводиться до невизначеностей або шляхом логарифмування функції вигляду , або використанням рівності .

Приклад 8. Знайти .

Розв’язання. Оскільки , а , то маємо невизначеність . Позначимо , тоді . В результаті такого перетворення отримуємо невизначеність ( , ), яку легко перетворити до невизначеності , записавши вираз для у виг­­ля­ді

Застосувавши до перетвореної функції правило Лопіталя, дістанемо:

Тоді, з того, що випливає, що .

Приклад 9. Знайти .

Розв’язання. Оскільки , а , то маємо невизначеність . Для знаходження даної границі використаємо рівність , де для знаходження границі уже можна скористаємось правилом Лопіталя

.

Тоді .

Як бачимо, правило Лопіталя є ефективним методом розкриття невизначеностей. Разом з тим застосуванням його не завжди досягається мета.

Приклад 10. Знайти .

Розв’язання. Якщо застосовувати правило Лопіталя, то одержимо

,

тобто чисельник і знаменник міняються місцями; невизначеність зберігається. Якщо застосувати правило Лопіталя повторно, то одержимо початковий вигляд. Таким чином, застосування цього правила у даному випадку не дає можливості розкрити невизначеність. В той же час легко встановити, що

.