5.3. Зростання та спадання функції. Основні теореми

Рис. 3

На рис. 3 бачимо, що на проміжку ( ) функція – зростаюча, а – спадна.

Теорема 1 (достатня ознака зростання (спадання) функції). Якщо похідна диференційовної функції додатна (від’ємна) всередині деякого проміжку, то функція зростаюча (спадна) на цьому проміжку.

Доведення. Нехай при . Для довільних , що належать ( ), згідно з теоремою Лагранжа, маємо

,

де , а тому . Із нерівностей та випливає, що або при . А це означає, що функція зростаюча.

Аналогічно доводиться теорема для спадної функції.

Теорема 2 (необхідна умова зростання (спадання) функції). Якщо диференційовна функція зростає (спадає) в деякому проміжку, то похідна цієї функції невід’ємна (не додатна) в цьому проміжку.

Доведення. Нехай – диференційовна функція і зростає на ( ). Згідно з означенням похідної

.

Якщо та належать ( ), то в силу зростання функції знаки приросту функції та приросту аргументу однакові

, при .

Оскільки границя додатної величини не може бути від’ємною, тому переходом до границі в цій нерівності одержимо . Це і доводить теорему.

У випадку спадної функції доведення аналогічне. У цьому випадку прирости функції і прирости аргумент мають різні знаки, тому

, при і .

Означення. Зростаюча або спадна функція називається монотонною. Інтервали, на яких задана функція зростає або спадає називаються інтервалами монотонності.

Для знаходження інтервалів монотонності заданої функції доцільно дотримуватись такого правила:

1. знайти ;

2. знайти корені рівняння ;

3. визначити знак похідної в кожному із інтервалів, на які поділяється область існування функції знайденими коренями рівняння ;

4. за одержаними знаками похідної зробити висновки, в яких інтервалах функція зростає, а в яких спадає.

Приклад. Витрати виробництва визначаються функцією . Знайти її інтервали монотонності.

Розв’язання. Задана функція визначена при , але має економічний зміст лише при .

1. Знайдемо похідні: .

2. Знайдемо корені рівняння : .

Ці значення поділяють область визначення на інтервали , і . В кожному з цих інтервалів має постійний знак:

при ,

при ,

при .

Отже функція зростає в інтервалах і , а спадає на інтервалі . З економічної точки зору ця функція спадає на інтервалі і зростає на інтервалі .