§5. Значущість вибіркового коефіцієнту кореляції

Отримавши за сумісною вибіркою значень двох випадкових величин ненульовий вибірковий коефіцієнт кореляції

треба вирішити, чи свідчить це про те, що коефіцієнт кореляції вказаних величин відрізняється від нуля

тобто про наявність кореляційного зв’язку між вказаними величинами.

Висуваємо основну статистичну гіпотезу : - кореляційний зв’язок відсутній. Альтернативна гіпотеза - : - кореляційний зв’язок присутній.

Припустимо, що випадкові величини мають нормальний розподіл. Тоді можна застосувати критерій Стьюдента. Оскільки альтернатива двостороння, виберемо рівень значущості . Обчислимо

За таблицею розподілу Стьюдента знайдемо величину .

Якщо то гіпотеза приймається,

якщо то гіпотеза відхиляється на рівні значущості (ймовірність неправильно відхилити не більше, ніж ).

Зауваження. Відхилення основної гіпотези свідчить про велику ймовірність (не менше, ніж ) наявності кореляційного зв’язку (корельованості) між випадковими величинами. В цьому випадку вибірковий коефіцієнт кореляції вважається значущим. В протилежному випадку – він незначущий і з великою ймовірністю випадкові величини некорельовані.

Приклад. За кореляційною таблицею попереднього прикладу (див.§4) зробити висновок про наявність кореляційного зв’язку між випадковими величинами.

У прикладі, що розглядається

Виберемо рівень значущості (двостороння альтернатива), тоді . Обчислимо

Знайдемо за таблицею розподілу Стьюдента величину .

Порівняємо обчислене число та . Маємо

.

Основна гіпотеза відхиляється. Таким чином з ймовірністю помилки не більше, ніж у 10% робимо висновок про наявність кореляційного зв’язку між величинами та , які розглядалися у попередньому прикладі (тобто ми вважаємо ці величини корельованими).

Зауваження. Насправді у нашій таблиці розподілу Стьюдента немає величини . У наявності є тільки величина . Але легко побачити, що величини у таблиці розташовані у порядку спадання, тому і таким чином, менше, ніж .