§3. Довірчі інтервали

З розглянутих прикладів випливає, що ми не можемо однозначно визначити, чи буде дана функція законом розподілу, що відповідає вибірці, яка розглядається. Це пов’язане з тим, що одна вибірка може відповідати різним випадковим величинам, які мають різні закони розподілу. Єдине, що ми можемо визначити – чи може функція, що розглядається, бути законом розподілу, який відповідає даній вибірці, чи не може. Але й це ми можемо зробити лише з певною ймовірністю. Також і невідомі параметри відомого розподілу не можна визначити точно, а можна лише з певною ймовірністю оцінити їх значення.

Припустимо, що маємо вибірку об’єму . Функція розподілу відповідної випадкової величини залежить від невідомого параметру . Інтервал називається довірчім інтервалом для параметру , якщо ймовірність потрапляння в цей інтервал є сталою:

.

Величина називається довірчою ймовірністю.

Нехай випадкова величина розподілена нормально з невідомими параметрами і . Тоді результати §2 пп.2 и 3 можна інтерпретувати наступним чином:

Отримані нерівності визначають довірчі інтервали для мат. сподівання та дисперсії нормально розподіленої випадкової величини за вибіркою. Тут - вибіркове середнє, - незміщена вибіркова дисперсія, - -границя розподілу Стьюдента с степенями вільності. - -границя розподілу Пірсона с степенями вільності. Значення границь можна знайти за таблицями (див. Додаток).

Приклад. Вибірка: . Об’єм .

Вважаємо, що випадкова величина розподілена нормально, знайдемо довірчі інтервали для мат. сподівання та дисперсії і . Довірчу ймовірність виберемо рівною . Тоді . Як обчислено раніше, , , . Знайдёмо за таблицями , , . Тоді з вказаних вище формул випливає, що довірчій інтервал для мат. сподівання:

.

Остаточно

.

Для дисперсії довірчій інтервал:

.

Остаточно

.

Як бачимо, інтервали доволі широкі.