logo
Теор

§2 Задача перевірки статистичних гіпотез

  1. Постановка задачі

Припустимо, що маємо вибірку об’єму . Закон розподілу відповідної випадкової величини невідомий. Висувається основна гіпотеза : випадкова величина розподілена за вказаним законом , та низка альтернативних гіпотез : випадкова величина розподілена за іншими законами: тощо.

У простішому випадку:

: випадкова величина розподілена за законом ,

: випадкова величина не розподілена за законом .

Припустимо, що ми маємо певний спосіб перевірки гіпотез (критерій). Тоді можливий один з 4 випадків:

  1. Гіпотеза вірна, але відхиляється за критерієм (тобто приймається альтернативна гіпотеза );

  2. Гіпотеза вірна та приймається;

  3. Гіпотеза невірна та відхиляється;

  4. Гіпотеза невірна, але приймається.

Як бачимо, у випадках 2) та 3) критерій спрацював правильно, а випадки 1) та 4) треба розглядати, як помилки.

Помилка 1 - гіпотеза вірна, але відхиляється – називається помилкою першого роду. Помилка 4 - гіпотеза невірна, але приймається – називається помилкою другого роду.

Як правило, за помилку першого роду беруть ту помилку, ціна якої більше. Виходячи з цього, відповідна гіпотеза вибирається за основну. Наприклад, нові ліки перевіряються на токсичність. Очевидно, за основну гіпотезу краще прийняти гіпотезу «препарат є токсичним». Дійсно, помилкою першого роду в цьому випадку буде класифікувати токсичний препарат, як нетоксичний. Ціною цього буде погіршення стану хворих, судові процеси, скандал, антиреклама і під кінець - можливе банкрутство. У випадку же помилки другого роду нетоксичний препарат буде прийнятий за токсичний, і в найгіршому випадку прийдеться починати все з початку, а то й лише відправити препарат на доопрацювання. Ціною будуть певні фінансові втрати, значно менші у порівнянні з втратами від помилки 1 роду.

Ймовірність помилки1 роду, тобто прийняття альтернативної гіпотези при тому, що вірною є основна гіпотеза ) позначається . Ймовірність помилки 2 роду - . Ясно, що ймовірність мусить бути малою. Зазвичай розглядають

,

де - рівень значущості критерію. Чим важливішими є наслідки помилки 1 роду – тим меншим беруть . Зазвичай розглядають тощо. Однак не треба зловживати зменшенням . Справа у тому, що у випадку завищеного рівня значущості критерій почне приймати без розбору велику кількість різноманітних нульових гіпотез, серед яких буде багато невірних – тобто зросте ймовірність помилки 2 роду, чого теж треба уникати.

  1.