65. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида: Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.
Это решение можно представить степенным рядом: Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci.
66. Метод малого параметра. Точные значения малого параметра называются особыми. Метод позволяет находить, когда решение малого параметра близко к особому
y’=y(лямбда, x)
67. Метод Эйлера. Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка
где функция определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале . На этом интервале введем узлы
Приближенное решение в узлах , которое обозначим через определяется по формуле
Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Рунге-Кутта. Метод позволяет решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка следующего вида:
которые имеют решение:
где t - независимая переменная (например, время); X, Y и т.д. - искомые функции (зависимые от t переменные). Функции f, g и т.д. - заданы. Также предполагаются заданными и начальные условия, т.е. значения искомых функций в начальный момент.
Одно диф. уравнение - частный случай системы с одним элементом. Поэтому, далее речь пойдет для определенности о системе уравнений.
Метод может быть полезен и для решения диф. уравнений высшего (второго и т.д.) порядка, т.к. они могут быть представлены системой диф. уравнений первого порядка.
Меnод ориентирован на трех переменных ряда маклорена!
yn+1=yn+h f(xn+0,5h,yn+0,5hfn)
7. Плоскость в пространстве. В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается линейным уравнением
Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2 + C2 ≠ 0.
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
Вектор N = (A, B, C) = A·i + B·j + C·k — нормальный вектор плосокости, он перпендикулярен любой прямой, принадлежащей плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N = (A, B, C) имеет вид
A(x −x0)+ B(y −y0) + C(z −z0) = 0.
Это уравнение называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором.
Виды уравнения плоскости в пространстве. Неполные уравнения плоскости.
Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.
Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:
1) D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.
2) А = 0 – n = {0,B,C} Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.
3) В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.
4) С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.
5) А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).
6) А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.
7) B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.
8) А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.
9) B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.
10) C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.
- 6.Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- 30.Угол между 2-мя прямыми.
- 18.Скалярные и векторные величины.
- 3. Проекция вектора на ось
- 8.Уравнение прямой в пространстве
- 4. Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение вектора по данному базису.
- 1. Матрица. Операции над матрицами.
- 2.Операции над матрицами:
- 2. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.
- 9.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
- 14. Производная ф-ции. Смысл.
- 16. Произв. Сложной и обр. Ф-ции.
- 19.Первообразная функции. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла
- 21,22.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- 23.Универсальная тригонометрическая подстановка.
- 25.Определённый интеграл. Его свойства.
- Теорема
- Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.
- 27.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной
- 28.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- 59.Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- 60. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:
- 62. Линейные дифф-е ур-я 1-го порядка:
- 64. Линейные дифференциальные ур-я 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
- 38.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
- 40,42..Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда
- 43. Ряды Тейлора и Маклорена.
- 35. Линейная комбинация рядов
- 36. Сравнение,даламбера,интегральный признак, лейбница.
- 40. Доказательство расходимости Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :
- 44. Разложение основных элементарных функций.
- 47. Функции нескольких переменных
- 7°. Важное геометрическое свойство. Равен площади области d (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости
- 65. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
- 15. Производная суммы (разности) функций
- 63. Теорема (о структуре общего решения лнду):