1.2.6) Ознака можливості побудови відрізка, що є заданою функцією даних відрізків

Користуючись циркулем і лінійкою, ми будували ряд виразів, як однорідних, так і неоднорідних. Однак не всяке алгебраїчний вираз можна побудувати цими інструментами. З того, що довжина якогось (шуканого) відрізка є відомою функцією даних відрізків, ще не випливає, що його можна побудувати циркулем і лінійкою. Так, наприклад, цими інструментами не можуть бути побудовані відрізки, задані формулами, , і багато інших.

Встановимо критерій, що дозволив би зясувати в кожнім окремому випадку, чи можна відрізок, заданий формулою, побудувати циркулем і лінійкою або не можна. Для стислості операції додавання, вирахування, множення, ділення, квадратного кореня (арифметичного з відємного числа) назвемо основними діями.

Надалі ми припускаємо, що дано (або обраний) одиничний відрізок. У тому випадку, коли будується однорідне вираження 1-го виміру, ми можемо виконати побудову, не користуючись цим відрізком. В всіх інших випадках він істотно необхідний для побудови.

Теорема. Для того, щоб циркулем і лінійкою можна було побудувати відрізок, довжина якого є заданою додатною функцією довжин даних відрізків, необхідно і досить, щоб довжину шуканого відрізка можна було виразити через довжини даних відрізків за допомогою кінцевого числа основних дій.

Доказ. 1. Достатність. Нехай потрібно побудувати деякий відрізок, довжина якого виражається через довжини даних відрізків за допомогою кінцевого числа основних дій. Покажемо, що такий відрізок можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Циркулем і лінійкою можна побудувати відрізок, довжина якого дорівнює одному з наступних виражень:1) сумі довжин побудованих відрізків, 2) різниці довжин побудованих відрізків (де зменшуване більше вичитаємого) 3) добуткові, 4) частці довжин двох побудованих відрізків, і 5) квадратному кореневі з довжини побудованого відрізка. Крім перерахованих виражень, додатна функція, складена тільки за допомогою основних операцій, може містити одну або декілька відємних різниць. Але кожний раз, коли зустрінеться така різниця, від неї можна перейти до додатньої різниці, користуючись тотожним співвідношенням aЇ b =- (b Ї а). Після кінцевого числа таких тотожних перетворень дана функція буде містити вже тільки різниці, у яких зменшуване більше відємника. Звідси випливає, що дійсно можна виконати послідовно всі побудови, що відповідають основним операціям, у тім порядку, у якому ці операції зазначені в заданій формулі, так що після кінцевого числа кроків ми дійсно побудуємо відрізок, довжина якого виражається через довжини даних відрізків заданою формулою.

Необхідність. Нехай відомо, що відрізок , довжина якого и, є заданою функцією від довжин даних відрізків (тобто u= f()може бути побудований циркулем і лінійкою. Доведемо, що в такому випадку довжина відрізка може бути виражена через довжини даних відрізків за допомогою кінцевого числа основних дій.

Побудуємо на площині прямокутну систему ординат (мал.7). Завжди можна розташувати відрізки на додатному промені осі абсцис так, щоб одним з кінців кожного відрізка служив початок координат О. У такий спосіб на осі абсцис утворяться крапки .

Як відомо, усяка побудова точок, здійсненна циркулем і лінійкою, зводиться до виконання конечною числа наступних основних побудов:

1) побудова прямої, що проходить через дві побудовані точки;

2) побудова окружності з центром у побудованій точці і радіусом, рівним відстані між двома побудованими точкам;

3) побудова загальних точок:

двох побудованих прямих;

побудованій прямій і побудованій окружності;

двох побудованих окружностей;

4)побудова точки, що свідомо не належить побудованій фігурі або ж свідомо їй приналежної;

За умовою можна побудувати відрізок і, довжина якого є заданою функцією від чисел. .

Ясно, що побудова відрізка и рівносильна побудові його кінців А и В. Тому що відрізок и можна побудувати, то повинна існувати цепь з кінцевого числа основних побудов, у результаті виконання яких на якомусь кроці буде побудований один з кінців відрізка (наприклад, точка А), а на деякому m-м кроці (s>rn ) -- інший його кінець, точка В. Довжина відрізка і визначається через координати () і (,) точок А и В по формулі:

Тепер потрібно показати, що числа ,, виражаються через числа а1, а2,..., лише за допомогою кінцевого числа основних дій.

Для доказу застосовуємо метод повної індукції.

Умовимося називати координати центра окружності і її радіус параметрами окружності, коефіцієнти рівняння прямої (записаного у вигляді у=kх+ b або х=с) -- параметрами прямої, координати точки -- параметрами цієї точки. Методом індукції доводиться наступна пропозиція: s основних побудов, у результаті яких виходять кінці відрізка , можна завжди виконати так, щоб у результаті кожного з них будувалася лінія або точка, параметри якої виражаються через довжини даних відрізків а1, а2,... , лише за допомогою кінцевого числа основних дій.

Розглянемо спочатку 1-й крок. На 1-м кроці виконується одна з наступних побудов:

1) побудова окружності з центром у даній крапці і радіусом, рівним відстані між якими-небудь двома даними точками; рівняння її буде, де числа, означають довжини даних відрізків або нуль;

2) побудова прямої, що проходить через дві дані точки, у результаті чого отримаємо вісь абсцис;

3) вибір довільної точки, що є однієї з даних точок або ж свідомо ту що не є однієї з них.

У перших двох випадках, мабуть, параметри побудованих ліній виражаються через довжини даних відрізків раціонально. У третьому випадку завжди можна вибрати як довільну точки точку, координати якої раціонально виражаються через довжину одного з даних відрізків

Таким чином, для 1-го кроку побудови справедливість доказуваної речення встановлена. Нехай тепер у результаті перших n-1 кроків нами побудовані лінії і точки, параметри яких виражаються за допомогою лише основних дій числа а1, а2,... , . Покажемо, що це буде мати місце і після n-го кроку. Розглянемо кожний з можливих випадків.

1-й випадок. На n-м кроці будується пряма, що проходить через дві невідомі точки (х1; у1) і (х2; у2). У силу індуктивного припущення можна вважати, що їх координати виражаються через числа а1, а2,... , за допомогою кінцевого числа основних дій. Рівняння прямої, що ми будуємо, має вигляд:

,

Тобто

Або y= kx+ b

Де k і b раціонально виражаються через числа ,, а отже, параметри k і b виражаються через числа а1, а2,... , за допомогою лише кінцевого числа основних дій

Наше міркування невірне, якщо х1=х2. Але в цьому випадку рівняння прямої має вигляд х=х1 і, отже, параметр її також виражається через числа а1, а2,... , за допомогою кінцевого числа основних дій.

2-й випадок. На n-м кроці будується окружність з центром у побудованій точці (с;d) і радіусом, рівним відстані між двома побудованими точками (х1; у1) і (х2; у2). Рівняння окружності має вигляд (х -- c)2+(y -- d)2 = m2, де

.

У силу індуктивного допущення допускаємо, що параметри побудованої окружності виражаються через числа а1, а2,... , за допомогою кінцевого числа основних дій.

3-й випадок. На n-м кроці будується точка перетинання двох побудованих прямих. Нехай рівняння цих прямих:

y= kx+b (1)

y= (2)

координати точки перетинання ,така існує, якщо kk можуть бути знайдені шляхом рішення системи рівнянь (1) і (2). Знайдемо при цьому:

Але параметри прямих (1) і (2) виражаються, у силу індуктивне допущення, через числа а1, а2,... , за допомогою лише кінцевою числа основних дії. Виходить, і координати крапки перетинання даних прямих визначаються через числа а1, а2,... , за допомогою кінцевого числа основних дій. Ще простіше установити справедливість пропозиції для випадку, коли рівняння однієї з прямих має вигляд х=

4-й випадок. На n-м кроці будуються загальні точки прямій і окружності. Нехай рівняння окружності

(1)

Нехай рівняння прямої

y= kx+b (2)

Параметри прямій і окружності виражаються, у силу допущення, через числа а1, а2,..., за допомогою кінцевого числа основних дій. Координати загальних точок прямої і окружності знайдемо, рішаючи спільно два рівняння (1) і (2). Ісключивши із цих рівнянь у, одержимо квадратне рівняння відносно х, рішивши його, знайдемо х, а потім і y, що виражаються через числа , , r, k, b за допомогою кінцевого числа основних дій. Обчислення показують, що в знаходимо потім по формулі (2)

Під радикалом не може виникнути відємне число, тому що це означало б, що числа х мнимі, тобто що окружність не перетинається з прямою, а це суперечить умові. Міркуючи, як і раніше, знайдемо, що координати загальних точок прямої і окружності виражаються через числа а1, а2,..., лише за допомогою кінцевого числа основних дій. Результат залишається в силі і для випадку, коли розглянута пряма паралельна осі ординат.

5-й випадок. На n-м кроці будуються загальні точки двох окружностей. Координати загальних точок повинні задовольняти двом рівнянням:

(1)

(2)

причому параметри цих окружностей виражаються, у силу допущення, через числа а1, а2,..., за допомогою кінцевого числа основних дій. Система рівнянь (1) і (2) легко приводиться до системи, що складає з одного лінійного рівняння й одного рівняння 2-й ступеня:

Рівняння() виходить шляхом почленного віднімання рівнянь (1) і (2). Рішаючи систему рівнянь () і (1), виразимо х и у через числа , отже через числа а1, а2,... , лише за допомогою кінцевого числа основних дій.

6-й випадок. На n-м кроці будується довільна точка, яка не належить до якоїсь раніше побудованій фігурі Ф. Покажемо, що ця точка може бути побудована так, щоб її параметри (координати) виражалися через числа а1, а2,..., раціонально.

Так як за умовою дані тільки кілька відрізків і ми користуємося тільки циркулем і лінійкою, то фігура Ф може бути тільки зєднанням кінцевого числа точок, прямих, відрізків, променів, окружностей і їхніх дуг. Нехай у процесі побудов, що були на перших n-1 кроках, побудовано усього k прямих, відрізків і променів. Виберемо на осі абсцис k+1 точок з абсцисами , і проведемо через них прямі, які паралельні осі ординат. Ясно, що хоча б одна з них не є однієї з раніше побудованих прямих і не містить жодного з раніше побудованих відрізків або променів.

Оберемо цю пряму. Ця пряма має з фігурою Ф кінцеве число загальних точок; нехай їхній буде q. Побудуємо на обраній прямій q+1 крапок з ординатами . Очевидно, що принаймні одна з них відмінна від крапок фігури Ф. (Загальні аксіоми конструктивної геометрії забезпечують можливість побудови такої точки.) Координати цієї точки раціонально виражаються через а1..

7-й випадок. На n-м кроці будується точка, що належить однієї з побудованих ліній. Треба довести, що ця точка може бути обрана так, щоб її координати виражалися через дані числа {} винятково за допомогою основних операцій у кінцевому числі, причому вона повинна бути відмінна від раніше побудованих точок зазначеної лінії.

Нехай для визначеності раніше побудована лінія -- окружність, рівняння якої має вигляд:

(1)

Нехай на цій окружності треба побудувати точку, відмінну від якихось k наявних на ній точок Р1, Р2,..., Pk. На окружності (1) завжди можна вибрати k+1 точок з абсцисами, що раціонально виражаються через числа і r. Для цього можна, , розділити відрізок () осі абсцис на k рівних частин, і тоді кінці цього відрізка і точки ділення є абсцисами, що раціонально виражаються через . У кожній з цих точок проведемо перпендикуляр до осі абсцис і отмітимо яку-небудь точку перетинання його з окружністю (1). Хоча б одна з таких k +1 точок відмінна від усіх крапок Р1, Р2,..., Pk. Позначимо її через М. Ясно, що її абсциса х раціонально виражається через числа х1 і r, а отже, виражається за допомогою кінцевого числа основних дій через числа а1, а2,..., . Ординату ж у цієї точки ми знайдемо з рівняння (1), так щоб виразити її за допомогою кінцевого числа основних дій через числа ,а виходить, що і через числа а1, а2,..., .

Отже, ми показали, що n-й крок можна виконати так, щоб на цьому кроці одержати точки і лінії, параметри яких виражаються через числа а1, а2,... , лише за допомогою кінцевого числа основних дій. Зокрема, у результаті т-го і s-го кроків ми одержимо точки А и В, координати яких виражаються через числа { } лише за допомогою кінцевого числа основних дій.

Теорема доведена.

Наслідок. Якщо дано тільки відрізок, прийнятий за одиничний, і l-- задане число, то відрізок довжиною l може бути побудований циркулем і лінійкою тоді і тільки тоді, коли число l може бути отримане з (1) за допомогою лише кінцевого числа основних дій.