1.2.3) Побудова деяких однорідних виразів циркулем і лінійкою.

Користуючись поняттям однорідної функції, неважко виділити деякі класи алгебраїчних виражень, що можуть бути побудовані циркулем і лінійкою. Побудова цих виражень виробляється за допомогою основних побудов,

За допомогою циркуля і лінійки можна будувати однорідні алгебраїчні вираження 1-го виміру, що утворені з довжин даних відрізків винятково за допомогою дій множення і ділення.

Загальний вид такого вираження: де де а1, а2, ..., ; b1, b2, ...,b(п-1)-- довжини даних відрізків.

Задача зводиться до послідовного виконання побудов за формулами:

, , … ,,

т. е. до побудов четвертих пропорційних відрізків.

Це побудова зручна здійснити в такий спосіб (рис3): з довільної точки О проводимо n променів; на кожнім промені будуємо двох точок А і так, щоб (k= 1, 2, 3,…,n-1).

На останньому промені відкладаємо 0Ап = ап. Будуємо потім відрізки В1А2, В2А3, ..., . Нарешті, проводимо: ламану А1 Х2 Х3... Хn ,так що точка лежить на промені 0Ак і відрізок Xk-1Xk рівнобіжний . Тоді .

Зокрема, завжди можна побудувати циркулем і лінійкою відрізки, задані формулами виду

Нехай -- дані відрізки (а, b, с,… , l) і Рn(а, b,…, l)-- однорідні

многочлени (з раціональними коефіцієнтами) від a, b,…,l виміру відповідно n+1 і n. Циркулем і лінійкою можна побудувати відрізок, заданий формулою

, , … ,,

Многочлен є сумою однорідних виразів виду A;

=

Де q+w+…+e=n+1, АЇ раціональне число. Аналогічно =де q1+w1+…+e1=n, A1--раціональне число.

Нехай -- довільний побудований відрізок, наприклад а або b. Розділимо чисельник Рn+1 на dn,, а знаменник Рn на dn-1

Тоді

-- представляє суму виразів виду A

Кожний такий вираз можна побудувати, після чого легко будується і сума таких виразів. Позначимо отриманий відрізок через так що . Аналогічно побудуємо відрізок , такий що. Шуканий відрізок побудуємо за формулою

Таким чином, за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати відрізок, довжина якого задана у виді будь-якої раціональної однорідної функції 1-го виміру (з раціональними коефіцієнтами) від довжин даних відрізків.

Циркулем і лінійкою завжди можна побудувати вираження виду де підкореневий вираз -- однорідна раціональна функція 2-го виміру з раціональними коефіцієнтами.

Нехай d-- довільний відрізок. Тоді

Будуємо послідовно відрізки і по формулах: (що можливо, тому що права частина -- раціональна функція 1-го виміру відносно a, b, с, ... ,l і х=.