Алгебраїчний метод розв’язку геометричних задач

2.2 Розвязування задач на побудову

Сутність методу алгебраїчного аналізу полягає в наступному. Рішення задачі на побудову зводять до побудови деякого відрізка (або декількох відрізків). Величину шуканого відрізка виражають через величини відомих відрізків за допомогою формули. Потім будують шуканий відрізок по отриманій формулі.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. (Задача про подвоєння квадрата.) Побудувати квадрат, площа якого вдвічі більше площі даного квадрата..

Позначимо сторону даного квадрата через а, а сторону шуканого квадрата через х. Тоді х2= 2а2, х= а .

Будуємо тепер відрізок х по отриманій формулі: х -- гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом а. Побудувавши відрізок х, легко потім побудувати шуканий квадрат (рис. 8).

Приклад 2. З вершин даного трикутника, як з центрів, описати три окружності, що дотикаються попарно зовнішнім образом.

Нехай ABC (мал. 9) -- даний трикутник, а, b, с-- його сторони, х, y і z-- радіуси шуканих окружностей. Виразимо довжини відрізків х, у, z через довжини відомих відрізків а, b, с. Тоді x+ y=c, x+z=b, y+z=a

Тому

2x+2y+2z= a+ b+ c, x+ y+ z=( a+ b+ c)

Звідки

Будуємо тепер один зі знайдених відрізків, наприклад за формулі і проводимо окружність (А, х). дві інші окружності проводимо з центрів В і С радіусами відповідно с- х і b- х.

Для доказу досить помітити тепер, що дві останні окружності стосуються між собою, тому що сума їхніх радіусів

(с -- х) +(b-- х) = з + b -- 2х= з +b- (з+ b- а) =а = ВР,

Тобто. дорівнює відстані між їхніми центрами.

Задача завжди однозначно розвязна, тому що

1) у трикутнику ABC і тому відрізок х може бути побудований;

2) c>x, тому що , тому що ; 3) , тому що

рис. 8 рис. 9

Приклад 3.

Побудувати прямокутний трикутник по гіпотенузі с і бісектрисі l прямого кута.

Аналіз. Задача легко рішиться після того, як удасться визначити висоту h шуканого трикутника, проведену з вершин прямого кута. З рис.10 видно, що , , тобто. або

Залишається виключити з цього співвідношення два невідомих катети a і b. Для цього потрібно скласти ще два незалежних рівняння, яким задовольняють ці катети:

Звідси

З формули (1) маємо:

Таким чином, шукана висота визначається з рівняння , з якого знаходимо єдине додатне рішення:

Побудова. Будуємо відрізок h по формулі (5). На довільній прямій відкладаємо відрізок AB= c. На АВ, як на діаметрі, будуємо окружність. Проводимо пари прямих, паралельних АВ, на відстані h від цієї прямої (рис.11) відзначаємо точку С перетинання цих прямих з окружністю. Шуканий трикутник АВС.

Доказ випливає з оборотності всіх приведених в аналізі міркувань.

Дослідження. Перебираючи послідовно кроки побудови, зауважуємо, що останній крок виконаємо тоді і тільки тоді, коли h,, тобто коли

Після спрощення ця умова приймає вид . Якщо , то пари прямих і окружність перетинаються в чотирьох точках, так що ми одержимо чотири трикутники, що задовольняють умові задачі. Однак вони усі рівні. Тому задача має єдине рішення. Якщо ж , то пари прямих, що касаються окружності, і ми одержуємо два рівнобедрених трикутники, що задовольняють умові задачі. Ці трикутники також рівні між собою, задача має єдине рішення. Отже, приведений спосіб завжди дозволяє знайти єдине рішення задачі, якщо виконано умову: .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1. Побудувати трикутник за a; b; .

Розвязання. Аналіз показує, якщо провести пряму, паралельну бісектрисі C і продовжити сторону ВС до перетину з цієї прямою у точці D, то утворюються рівнобедрений трикутник ACD. Нехай AD=x. Оскільки трикутник і ВDА подібні, то , або .

Побудувавши відрізок AD, можна побудувати трикутник CDА ( АС = СD), а потім і трикутник АВС.

Задача 2. З вершин даного трикутника, як із центрів, описати три кола, які попарно дотикаються зовнішньо.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розвязання. Нехай А, В, С-- вершини даного трикутника;a, b, c-- його сторони. Тоді

Тому

Отже

Побудуємо один з відрізків, наприклад , і проведемо коло з центром у точці А радіуса, довжина якого дорівнює . Два інших кола проводимо з центрів В іС відповідно радіусів і .

Задача 3. Побудувати трикутник АВС за а; А; ( задача Паппа)

Розвязання. Опишемо на стороні ВС дугу сегмента, що вміщує кут А, і доповнимо її до кола. Подовжимо бісектрису до перетину з цим колом у точці W. Відрізок --заданий (-середина відрізка BC). Позначемо . Проведемо діаметр WD.прямокутні трикутники і WAD-- подібні. Нехай ; WD=d, тоді , або . Знайдемо x:

Размещено на http://www.allbest.ru/

З точки W проведемо дугу радіуса , достанемо точку A.

Задача 4. Побудувати трикутник АВС за R; r; h.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розвязання. Позначимо I центр вписаного трикутника АВС кола, Ї точку дотику вписаного кола зі стороною ВС,

Ї бісектрису кута ВАС. Оскільки(-

основа висоти ), то . Але

Отже , або .

Використовуємо формулу

Отже,

Звідси .

Отже,

Коли знайдено кут А, неважко побудувати трикутник

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 5. Через точку D, яка належить стороні ВС трикутника АВС, провести пряму, яка поділяє площу трикутника навпіл.

Розвязання. Нехай DE-- шуканий відрізок .

Тоді. Якщо - середина

відрізка ВС, то .

Отже . Таким чином, щоб знайти точку Е,

проведемо відрізок паралельний AD.

Відрізок DE -- шуканий

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 6. За даними сторонами побудувати чотирикутник, навколо якого можна описати коло

Розвязання. Нехай АВСD--шуканий

трикутник , навколо якого можна описати коло.

Позначемо АВ= а, ВС= b, DC= c, AD= d,

BD= x. З трикутника BDAза теоремою косинусів

Випливає

Аналогічно, з трикутника DCB маємо

Оскільки , то виключивши cosA з обох рівнянь, дістанемо

Побудувавши діагональ х, будуємо спочатку трикутник BDA за трьома сторонами (a, d та x), а далі трикутник DCB. Чотирикутник ABCD-- шуканий

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 7 В коло вписано трикутник . На хорді АВ побудувати точку М так, щоб

Розвязання. Нехай точка М -- шукана

Тоді

Якщо , то , звідки знаходимо, що . =. Це значить, що коло дотикається хорди АВ. Отже задача зводиться до такої: через С і D провести коло, дотичне до хорди АВ. Позначемо Е точку перетину прямих DC і АВ , а К -- точка дотику. Тоді

Знайдемо точку К і через точки К, С, D проведем коло.

Задача 8 За гіпотенузою с побудувати такі прямокутні трикутники, щоб відстань МІ була: 1)найменшою; 2)найбільшою;(М -- центроїд, І -- інцентр).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розвязання. Очевидно,

За теоремою косинусов

звідки причому

тому або 9

Відрізок MI досягає найменшого значення при максимальному r. Але r досягає найбільшого значення при тобто, коли шуканий трикутник рівнобедренний. У цьому випадку

Отже,

Bідрізок MI досягає найбільшого значення при найменшому значенні r, тобто при r=0.У цьому випадку трикутник вироджується.

Задача 9. Побудувати трапецію за її бічними сторонами і діагоналями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розвязання. У трапеції ABCD введемо позначення: AD=a, BC=b, AC=C, AD=d, DO=x, CO=y, . З трикутників AOD

і COB за тeоремою косинусів маємо

Звідки

Очевидно, що Тому

Задача 10. Побудувати точку Р всередині трикутника АВС так, щоб АК=ВМ=СN, де M, N, K-- проекції точки Р на сторони ВС, АС, АВ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розвязання. Нехай АК=ВМ=CN=x.

Тоді

Додамо ці рівності:

Звідки

Отже відкладаючи на сторонах трикутника АВС відрізки АК, ВМ, CN, дістанемо шукану точку Р.

Задача 11. Побудувати прямокутний трикутник за гіпотенузою с і медіаною одного з катетів.

Розвязання. З трикутників АВС і випливає

;

; або

Відрізки, задані формулами (1) і (2) можна побудувати. Отже можна побудувати й трикутник АВС.

Содержание