1.2 Точное решение уравнений состояния

В матричном виде полученная система дифференциальных уравнений имеет вид:

Решение для переменных состояния через матричную экспоненциальную функцию имеет вид.

В нашем случае значения параметров матрицы V не зависят от времени, поэтому решение можно переписать следующим образом.

Используя метод Жордана-Гаусса, находим обратную матрицу A^-1.

Рис. 3. Схема для определения независимых начальных условий

Матрицу начальных условий найдем из системы (1) при i_C=0 и u_L=0.

Найдем экспоненциальную матричную функцию e^A(t). Для этого сначала найдем собственные значения матрицы A, т.е. решим уравнение

В результате решения имеем:

Разложим экспоненциальную матричную функцию в ряд Тэйлора.

Для того, чтобы найти ₀(t) и ₁(t), решим систему линейных уравнений.

Полученные формулы для ₀(t) и ₁(t) преобразуем, воспользовавшись формулой Эйлера :

В записанных выражениях _Д=Re(₂), _М=Im(₂)

Подставив полученные формулы в (3), получим:

Теперь подставим все значения в формулу (2) и получим X(t).