2.4 Упражнения

I.

a) Проверьте, что (а + b)² = C₂⁰a²b⁰ + C¹₂a¹b¹ + C²₂a⁰b².

b) Проверьте, что (а + b)³ = C⁰₃a³b⁰ + C¹₃a²b¹ + C²₃a¹b² + C³₃a⁰b³.

c) Используя равенство (а + b)⁴ = (a + b)³·(a + b), выведите формулу сокращённого умножения для суммы двух чисел в четвёртой степени.

d) Проверте, что (a + b)⁴ = C⁰₄a⁴b⁰ + C¹₄a³b¹ + C²₄a²b² + C³₄a¹b³ + C⁴₄a⁰b⁴.

Решение:

a) (a +b)² = a² + 2ab + b² = C⁰₂a²b⁰ + C ¹₂a¹b¹ + C²₂a⁰b².

b) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = C⁰₃a³b⁰ + C¹₃a²b¹ + C²₃a¹b² + C³₃a⁰b³.

c) (a + b)⁴ = (a + d)³·(a + b) = (a³ + 3a²b + 3ab² b³)·(a + b) = a⁴+4a³b + + 6a²b²+ 4ab³+ b⁴.

d) (a +b)⁴ =a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = C⁰₄a⁴b⁰ + C¹₄a³b¹ + C²₄a²b² + C³₄a¹b³ + C⁴₄a⁰b⁴.

Решённые примеры являются частными случаями бинома Ньютона.

II.

a) Составьте таблицу из двух строк, расположив в первой строке k от 0 до 5, во второй строке - числа C^k₅.

b) При каком значении числа k получится наибольшее значение числа C^k₅?

c) Найдите сумму чисел во второй строке составленной таблицы.

d) Отметьтье на координатной плоскости точки (k, C^k₅).

Решение.

а) Вторая строка в таблице будет пятой строкой в треугольнике Паскаля:

b) Наибольшее значение С^k₅ получается при двух значениях k =2 и k = 3, т.е. при [5/2] и при [5/2]+1 (в квадратных скобках записываем целую часть числа, т.е. наибольшее целое, не превосходящее 5/2). В данном случае n = 5 - нечётное число.

c) Сумма чисел во второй строке составленной таблицы равна 32 = 2⁵ (свойство биномиальных коэффициентов ?С^k_n = 2ⁿ).

d) Точки (k, C^k₅) на координатной плоскости:

Ответ: c)2; 3; d) 32.

III. Решите уравнения:

а) 14 C_n^n-2= 15A²_n-3;

b) 6C_n^n-3= 11A²_n-1;

c) 13C_2nⁿ⁺¹= 7_2n+1^n-1;

d) 21C_2nⁿ⁺¹= 11C_2n+1^n-1.

Решение:

а) 14С_n^n-2= 15Aⁿ_n-3; n є N.

Поскольку С_n^n-2= C_n^n-n+2= C_n ², то

14C_n²= 15A²_n-3;

7·n·(n -1) = 15·(n -3)·(n -4);

4n² - 49n + 90 = 0;

b) 6C_n^n-3 = 11A²_n-1; n є N

6C³_n = 11A²_n-1

n·(n - 1)·(n -2) = 11·(n - 1)·(n -2);

n = 11.

c) 13C_2nⁿ⁺¹ = 7C^n-1_2n+1; n є N.

13C_2n^n-1 = 7C_2n+1^n-1

Сокращая получаем:

13·(n + 2) = 7·(2n + 1),

отсюда n = 19.

d) 21C_2nⁿ⁺¹ = 11C^n-1_2n+1;

сокращая, получаем:

21·(n + 2) = 11·(2n + 1),

Отсюда n = 31.

Ответ: а) 10; b) 11; c) 19 d) 31.

Замечание. Расписывая факториалы, мы воспользовались формулой:

Поэтому С_2n+1^n-1 преобразуется аналогично.

IV. Вычислите.

C₂₇² - C₂₆²;

a) C₁₁⁵ + C₁₁⁶;

b) C₅² + C₇² + C₉²;

c) Числа C_n^k при n = 1, 2,3,4 и 0 < k < n.

Решение:

Числа С_n^k при заданных n и k удобнее всего записать в виде треугольника Паскаля:

Ответ: a) 26; b) 9;2;4; c) 67; d) 14 чисел в треугольнике Паскаля.

Замечание. В условие варианта d) должно быть 0 ? k ? n, т.к. при

0 < n < k и n = 1 нет значений k (k€N).