2.1 Треугольник Паскаля

Коэффициент в разложении (a + b)ⁿ при a^n-kb^k обозначается k. Это обозначение в 1778 г. Ввёл Л. Эйлер. Таким образом, можно записать разложение бинома так:

Соответственно,

Разумеется, можно вычислить все биномиальные коэффициенты для любого n путём непосредственного перемножения n множителей (a + b), раскрытия скобок и приведения подобных членов. Правда, математикам древности и среднековья сделать это мешало отсутствие алгебраической символики. Например, в одном средневековом математическом тексте, имевшем хождение в Западной Европе в XV в. и, по-видимому, восходящем к арабам, биномиальные коэффициенты вычисляются очень наглядно путём возведения в степени числа 10001 и приводятся в виде таблицы.

Таблица 1. степень числа 1001 воспроизводит биномиальные коэффициенты.

Ат-Тутси (XIII в.) располагал таблицей биномиальных коэффициентов до n = 2 и, что важнее, привёл общее правило для их получения, которое в современных обозначениях может быть выражено так:

Доказательство:

Благодаря данному правилу можно вычислять биномиальные коэффициенты последовательно для всех больших степеней n: а именно, k-й коэффициент бинома степени n равен сумме k-го и (k-1)-го коэффициентов степени (n-1). К этому следует добавить, что в биноме степени n первый (точнее, нулевой, k = 0) и последний (k = n) коэффициенты - т.е. коэффициенты при aⁿ и при bⁿ - оба равны 1(при перемножении n множителей (a + b) член aⁿ получается единожды, а именно, при перемножении n раз чисел a; то же верно и для члена bⁿ).

Если записать биномиальные коэффициенты n в виде таблицы со строками n и столбцами k, то каждая строка будет начинаться и заканчиваться единицей, а каждое промежуточное число строки будет равняться сумме двух чисел предыдущей строки - того, что стоит непосредственно над ним, и то, что стоит левее:

Таблица 2. Биномиальные коэффициенты.

Не трудно видеть, что каждая строка данной таблицы симметрична: n = n , т.к. коэффициенты при a^kb^n-k и a^n-kb^k в разложении бинома совпадают. Полученный числовой треугольник называется треугольником Паскаля. Таблицы биномиальных коэффициентов были известны и предшествующим математикам - китайским, арабским и европейским (П. Аппиан, 1527 г.; М. Штифель, 1544 г.; Н. Тарталья, 1556 г.). Однако именно благодаря работе Паскаля "Тракт о арифметическом треугольнике", опубликованной уже после смерти автора (в 1665 г.), свойства биномиальных коэффициентов получили широкую известность. Правда сам Паскаль (и многие его предшественники) рисовали этот треугольник несколько иначе, с "повышенными" столбцами и прямым углом при вершине:

Таблица 3. Треугольник Паскаля.

В такой таблице числа, соответствующие разложению бинома степени n, стоят не вдоль одной и той же строки, а вдоль одной и той же восходящей диагонали. Все восходящие диагонали, а значит, и вся таблица симметрична относительно главной нисходящей диагонали - "биссектрисы прямого угла". Каждое число в таблице (кроме единиц, находящихся на верхнем и левом краях), равняется сумме двух чисел, стоящих от него сверху и слева.

Вот ещё несколько свойств таблицы 3, доказанных Паскалем:

Интересно свойство делимости чисел, составляющих треугольник Паскаля. Если обозначить одним цветом числа, делящиеся нацело на какое-нибудь натуральное число, а другим - делящиеся с остатком, получается неожиданные узоры. Некоторые из них составлены из равных разноцветных треугольников - это результат деления на простые числа. Другие же похожи на фракталы. Почему? Числа, стоящие вдоль одной и той же строки (столбца) на таблице, так же интересны. То, что в нулевой строке и нулевом столбце стоят единицы, очевидно. Очевидно и то, что на первой строке и первом столбце стоят подряд все натуральные числа: 1, 2, 3, 4 и т.д.

А вот что за числа стоят на второй строке (столбце)? Оказывается, эти числа имеют своё название, причём носят его с глубокой древности - это треугольные числа. А числа на третьей строке (столбце) - пирамидальные числа, равные сумме треугольных.

Треугольные и пирамидальные числа

Если обратиться к форме треугольник Паскаля, представленный в таблице 2, и рассмотреть её столбцы и нисходящие диагонали, то это рассмотрение ничего не даст: фактически, столбцы у таблиц 2 и 3 одни и те же, а нисходящие диагонали таблицы 2 совпадают со строками таблицы 3. Строки же таблицы 2 совпадают с восходящими диагоналями таблицы 3. Последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8, …), полученная при разборе восходящих диагоналей: 1; 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 1+3 = 5, 1+3+1 = 5; 1+4+3 = 8 и т.д., обладает тем свойством, что каждое число в ней равно сумме двух предыдущих. Эти числа носят название чисел Фибоначчи и обладают многими интересными математическими свойствами, возникая в самых неожиданных задачах.

Гораздо проще вопрос о том, чему равны суммы чисел, стоящих на каждой из строк таблицы 2 ( и ли на каждой из восходящих диагоналей таблицы 3).

Ещё один вопрос - чему равна сумма:

в которой все биномиальные коэффициенты степени n>0 c нечётными номерами взяты со знаком плюс, а с чётными - со знаком минус?

Ответ:

Чрезвычайно важное свойство биномиального разложения связано с тем, что его коэффициенты n , оказывается, представляют собой не что иное, как числа сочетаний по k элементов из множества с n элементами.

Приведём одно из свойств, связанных с делимостью биномиальных коэффициентов. Рассмотрим таблицу 2. Легко видеть, что все числа её 5-й строки, кроме крайних единиц, делятся на 5; все числа 7-й строки, кроме крайних единиц, делятся на 7. Очевидно, у 2-й и 3-й строки есть такое же свойство. А у остальных, легко видеть, такого свойства нет. Что объединяет числа 2, 3, 5 и 7 и отличает их от других чисел первого десятка? Верно, все они простые. Можно доказать, что, действительно, все числа n-ой строки треугольника Паскаля (в форме таблицы 2), кроме крайних единиц, делятся на n тогда и только тогда, когда n простое.

Еще одно красивое свойство треугольника Паскаля (в форме таблицы 2) связано с вопросом, сколько нечётных чисел содержит n-я строка. Оказывается, число этих нечётных чисел всегда равно 2^k, где k - число единиц в двоичной записи числа n.

И наконец приведём сравнительно недавно, в общем, то, случайно обнаруженное свойство треугольника Паскаля, связывающее его с простыми числами (Г.В. Манн, Д. Шенкс, 1972г.). запишем строки треугольника Паскаля (в форме таблицы 2), каждый раз сдвигая строки в право на две позиции.

Таблица 4. Связь ряда простых чисел и треугольника Паскаля.

Числа, стоящие в таблице, выделены, если они делятся на номер строки. Числа в нижней строке, нумерующие столбцы, выделены, если в этом столбце все числа выделены. Выходит, что выделенные номера столбцов в точнсти соответствуют простым числам.