Биномиальные коэффициенты

курсовая работа

2.4 Упражнения

I.

a) Проверьте, что (а + b)2 = C20a2b0 + C12a1b1 + C22a0b2.

b) Проверьте, что (а + b)3 = C03a3b0 + C13a2b1 + C23a1b2 + C33a0b3.

c) Используя равенство (а + b)4 = (a + b)3·(a + b), выведите формулу сокращённого умножения для суммы двух чисел в четвёртой степени.

d) Проверте, что (a + b)4 = C04a4b0 + C14a3b1 + C24a2b2 + C34a1b3 + C44a0b4.

Решение:

a) (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 = C02a2b0 + C 12a1b1 + C22a0b2.

b) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = C03a3b0 + C13a2b1 + C23a1b2 + C33a0b3.

c) (a + b)4 = (a + d)3·(a + b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 b3)·(a + b) = a4+4a3b + + 6a2b2+ 4ab3+ b4.

d) (a +b)4 =a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C04a4b0 + C14a3b1 + C24a2b2 + C34a1b3 + C44a0b4.

Решённые примеры являются частными случаями бинома Ньютона.

II.

a) Составьте таблицу из двух строк, расположив в первой строке k от 0 до 5, во второй строке - числа Ck5.

b) При каком значении числа k получится наибольшее значение числа Ck5?

c) Найдите сумму чисел во второй строке составленной таблицы.

d) Отметьтье на координатной плоскости точки (k, Ck5).

Решение.

а) Вторая строка в таблице будет пятой строкой в треугольнике Паскаля:

k

0

1

2

3

4

5

Ck5

1

5

10

10

5

1

b) Наибольшее значение Сk5 получается при двух значениях k =2 и k = 3, т.е. при [5/2] и при [5/2]+1 (в квадратных скобках записываем целую часть числа, т.е. наибольшее целое, не превосходящее 5/2). В данном случае n = 5 - нечётное число.

c) Сумма чисел во второй строке составленной таблицы равна 32 = 25 (свойство биномиальных коэффициентов ?Сkn = 2n).

d) Точки (k, Ck5) на координатной плоскости:

Ответ: c)2; 3; d) 32.

III. Решите уравнения:

а) 14 Cnn-2= 15A2n-3;

b) 6Cnn-3= 11A2n-1;

c) 13C2nn+1= 72n+1n-1;

d) 21C2nn+1= 11C2n+1n-1.

Решение:

а) 14Сnn-2= 15Ann-3; n є N.

Поскольку Сnn-2= Cnn-n+2= Cn 2, то

14Cn2= 15A2n-3;

7·n·(n -1) = 15·(n -3)·(n -4);

4n2 - 49n + 90 = 0;

b) 6Cnn-3 = 11A2n-1; n є N

6C3n = 11A2n-1

n·(n - 1)·(n -2) = 11·(n - 1)·(n -2);

n = 11.

c) 13C2nn+1 = 7Cn-12n+1; n є N.

13C2nn-1 = 7C2n+1n-1

Сокращая получаем:

13·(n + 2) = 7·(2n + 1),

отсюда n = 19.

d) 21C2nn+1 = 11Cn-12n+1;

сокращая, получаем:

21·(n + 2) = 11·(2n + 1),

Отсюда n = 31.

Ответ: а) 10; b) 11; c) 19 d) 31.

Замечание. Расписывая факториалы, мы воспользовались формулой:

Поэтому С2n+1n-1 преобразуется аналогично.

IV. Вычислите.

C272 - C262;

a) C115 + C116;

b) C52 + C72 + C92;

c) Числа Cnk при n = 1, 2,3,4 и 0 < k < n.

Решение:

Числа Сnk при заданных n и k удобнее всего записать в виде треугольника Паскаля:

Ответ: a) 26; b) 9;2;4; c) 67; d) 14 чисел в треугольнике Паскаля.

Замечание. В условие варианта d) должно быть 0 ? k ? n, т.к. при

0 < n < k и n = 1 нет значений k (k€N).

Делись добром ;)