logo
Биномиальные коэффициенты

2. Бином Ньютона

Из школьного курса читателю известны формулы:

(а + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3.

Обобщением этих формул является следующая формула, называемая обычно формулой бинома Ньютона:

(a + b)n = C0n a0bn + C1n abn-1 + C2n a2bn-2 + ... + Cn-1n an-1b + Cnn anb0. (6)

В этой формуле может быть любым натуральным числом.

Вывод формулы (6) несложен. Прежде всего запишем:

(a + b)n = (a + b)(a + b) ... (a + b), (7)

где число перемножаемых скобок равно n. Из обычного правила умножения суммы на сумму вытекает, что выражение (7) равно сумме всевозможных произведений, которые можно составить следующим образом: любое слагаемое первой из сумм а + b умножается на любое слагаемое второй суммы a +b, на любое слагаемое третьей суммы и т.д. Hапример, при n = 3 имеем:

(a +b)(a + b)(a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb.

Из сказанного ясно, что слагаемым в выражении для (a + b)n соответствуют (взаимно-однозначно) строки длиной n, составленные из букв а и b. Среди слагаемых будут встречаться подобные члены; очевидно, что таким членам соответствуют строки, содержащие одинаковое количество букв а. Но число строк, содержащих ровно k раз букву а, равно Сkn . Значит, сумма всех членов, содержащих букву а множителем ровно k раз, равна Сnk akbn-k. Поскольку k может принимать значения 0, 1, 2, …, n-1, n, то из нашего рассуждения следует формула (6).

Заметим, что (6) можно записать короче: (a + b)n = ?Ckn akbn-k. (8)

Хотя формулу (6) называют именем Ньютона, в действительности она была открыта ещё до Ньютона (например, её знал Паскаль). Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашёл обобщение этой формулы на случай не целых показателей.

Числа С0n, C1n, ..., Cnn, входящие в формулу (6), принято называть биномиальными коэффициентами, которые определяются так:

Из формулы (6) можно получить целый ряд свойств этих коэффициентов. Например, полагая а =1, b = 1, получим:

2n = C0n - C1n + C2n - C3n + ... +Cnn,

т.е. формулу (4). Если положить а = 1, b = -1, то будем иметь:

0 = С0n - C1n + C2n - C3n + ... + (-1)nCnn или С0n + C2n + C4n + ... = C1n + C3n + + C5n + ... .

Докажем формулу (8). Рассмотрим функцию f(x) = (1 + x)n. Это многочлен n-ой степени, то есть

(1 + x)n = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0.

Найдём коэффициенты an, an-1, ..., a1, a0, вычислив значения функции и всех её производных от 1-го до n-го порядка при x = 0. Получим, что производная k-го порядка с одной стороны равна

f (k)(x) = (1 + x)(k) = n(n - 1)· ... ·(n - k + 1)(1 + x)(n-k).

С другой стороны, она равна

f (k)(x) = n( n - 1)· ... ·(n - k)anxn-k + ... + k!ak,

При x = 0 получим равенство

n(n - 1)· ... ·(n - k + 1) = k!ak

отсюда

При всех k = 1, 2, …, n.

Тогда

(1 + x)n = C0 nxn + C1n xn-1 + ... + Ckn xn-k + ... + Cnn x0

или короче

(1 + x)n = ?Ckn xn-k,

Отсюда