1.4. Простейшие свойства - алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого хА элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого zC , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х₁ +iх₂, где х₁, х₂ - эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х₁ +iх₂, следовательно:

, (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х₁, х₂, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х₁ +iх₂.

Эти элементы х₁, х₂ называются эрмитовыми компонентами элемента х.

Заметим, что хх* = х₁² + х₂² + i(х₂х₁ - х₁х₂),

хх* = х₁² + х22 - i(х₂х1 - х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х₁ и х₂ перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а Аґ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив при хА, мы определим инволюцию в Аґ, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что Аґ станет *-алгеброй. Говорят, что Аґ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х^-1 существует, то (х*)^-1 также существует и

(х*)^-1 = (х^-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х^-1х = хх^-1 = е,

получим х*(х^-1)*= (х*)^-1х*=е.

Но это означает, что (х^-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А₁ алгебры А называется *-подалгеброй, если из хА₁ следует, что х*А₁ .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В - максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х^-1 существует, то х^-1В.

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х^-1 и (х*)^-1 = (х^-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х^-1В.

Определение 1.6. Элемент хА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)^-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы - комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению - унитарную группу А. Действительно, если x и y - унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)^-1 = (у*х*)^-1 =(х*)^-1 (y*)^-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х^-1)*)^-1= ((х*)^-1)^-1 = х^-1, то х^-1 унитарен.