2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Если Н₁ инвариантное подпространство, то все операторы р(х) (хА) можно рассматривать как операторы Н₁. Сужения р(х) на Н₁ определяют подпредставления р₁ *-алгебры А в Н₁.

Теорема 2.1. Если Н₁ инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н₁, то есть (f, g) = 0 для всех gН₁. Тогда для любого хА (р(х)f, g) = (f, р(х)*g) = (f, р(х*)g) = 0, так как р(х*)gН₁. Следовательно, вектор р(х)f также ортогонален к Н₁.

Обозначим через Р₁ оператор проектирования в Н на подпространство Н₁Н₁.

Теорема 2.2. Н₁ - инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р₁ на Н₁.

Доказательство. Пусть Н₁ - инвариантное подпространство и fН₁, но также р(х)f Н₁. Отсюда для любого вектора fН

р(х)Р₁f Н₁

следовательно, Р₁р(х)Р₁f = р(х)Р₁f ,

то есть Р₁р(х)Р₁ = р(х)Р₁.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р₁р(х)Р₁ = Р₁р(х).

Следовательно, Р₁р(х) = р(х)Р₁; операторы Р₁ и р(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН₁

Р₁р(х)f = р(х)Р₁f = р(х)f ;

Следовательно, также р(х)f Н₁. Это означает, что Н₁ - инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f₁ + … + f_n, где f₁, …, f_n - векторы исходных подпространств. С другой стороны, р(х)h = р(х)f₁ +…+ р(х)f_n есть сумма того же вида и имеет своим пределом р(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I - произвольное множество. Пусть (р_i)_iI - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Н_i (iI). Пусть

|| р_i (х) || = с_х

где с_х - положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Н_i, то есть Н = Н_i. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор р(х) в Н, который индуцирует р_i (х) в каждом Н_i. Тогда отображение х > р(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений р_i и обозначаемое р_i или р₁…..р_n в случае конечного семейства представлений (р₁…..р_n). Если (р_i)_iI - семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением р, и если CardI = c, то представления р_i обозначается через ср. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным р.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f₀ ? 0 - какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов р(х)f₀, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н₁. Тогда Н₁ - инвариантное подпространство, в котором f₀ есть циклический вектор. Другими словами, Н₁ есть циклическое подпространство представления р.

Если Н₁ = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н₁ есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н₂ ортогональное Н₁.

Обозначим через М совокупность всех систем {Н_б}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н₁, Н₂}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н_б}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Н_б}. Но тогда Н=Н_б; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Н_б) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н₀ и мы получили бы систему {Н_б}Н₀М, содержащую максимальную систему {Н_б}, что невозможно.