*-Алгебры и их применение

дипломная работа

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н - гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что

р (x+y) = р (x) + р (y), р (б x) = б р(x),

р (xy) = р (x) р (y), р (x*) = р (x)*

для любых х, y А и б С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью р и обозначается dimр. Пространство Н называется пространством представления р.

Определение 2.2. Два представления р1 и р2 инволютивной алгебры А в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, переводящий р1(х) в р2(х) для любого хА, то есть

U р1(х) = р2(х) U для всех х А.

Определение 2.3. Представление р называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов р (х)f (для всех хА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления р.

Определение 2.4. Подпространство Н1Н называется инвариантным, относительно представления р, если р (А)Н1Н1.

Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы р(х) (хА) можно рассматривать как операторы Н1. Сужения р(х) на Н1 определяют подпредставления р1 *-алгебры А в Н1.

Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех gН1. Тогда для любого хА (р(х)f, g) = (f, р(х)*g) = (f, р(х*)g) = 0, так как р(х*)gН1. Следовательно, вектор р(х)f также ортогонален к Н1.

Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1Н1.

Теорема 2.2. Н1 - инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.

Доказательство. Пусть Н1 - инвариантное подпространство и fН1, но также р(х)f Н1. Отсюда для любого вектора fН

р(х)Р1f Н1

следовательно, Р1р(х)Р1f = р(х)Р1f ,

то есть Р1р(х)Р1 = р(х)Р1.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р1р(х)Р1 = Р1р(х).

Следовательно, Р1р(х) = р(х)Р1; операторы Р1 и р(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН1

Р1р(х)f = р(х)Р1f = р(х)f ;

Следовательно, также р(х)f Н1. Это означает, что Н1 - инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f1 + … + fn, где f1, …, fn - векторы исходных подпространств. С другой стороны, р(х)h = р(х)f1 +…+ р(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом р(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I - произвольное множество. Пусть (рi)iI - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Нi (iI). Пусть

|| рi (х) || = сх

где сх - положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Нi, то есть Н = Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор р(х) в Н, который индуцирует рi (х) в каждом Нi. Тогда отображение х > р(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений рi и обозначаемое рi или р1…..рn в случае конечного семейства представлений (р1…..рn). Если (рi)iI - семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением р, и если CardI = c, то представления рi обозначается через ср. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным р.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f0 ? 0 - какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов р(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 - инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления р.

Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.

Обозначим через М совокупность всех систем {Нб}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нб}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Нб}. Но тогда Н=Нб; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Нб) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нб0М, содержащую максимальную систему {Нб}, что невозможно.

Делись добром ;)