Алгебра и сигма-алгебра событий.

Пусть является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует ровно одна точка . Выделим совокупность подмножеств множества и потребуем, чтобы содержало как случайные события , так и события, полученные в результате применения любой из операций к любым элементам системы.

Совокупность случайных событий (подмножеств множества ), определенных на пространстве элементарных исходов , называется алгеброй событий (или булевой алгеброй), если выполнены следующие условия:

1. ;

2. Если и , то для любых и ;

3. Если , то .

Оказывается, что условий 1 – 3 достаточно для того, чтобы любое конечное число других операций над случайными событиями не выводило бы нас за пределы алгебры . Для экспериментов с конечным числом исходов множество всех подмножеств , включающее пустое множество , составляет алгебру. Поэтому для таких экспериментов любое подмножество множества может интерпретироваться как наблюдаемое событие.

Во многих задачах теории вероятностей приходится иметь дело и с бесконечным числом элементарных исходов и, следовательно, операций. Это потребовало введения понятия -алгебры событий .

Система подмножеств множества , называется -алгеброй, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. ;

2. Если , то и

3. Если , то .

Таким образом, счетное число операций суммирования или перемножения событий не выводит результирующее событие за пределы –алгебры.